Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №1 — решение · финал

Условие

Ненулевые числа $x$ $y$ $z$ удовлетворяют системе уравнений

\begin{cases} xy = 3z + z^2,\\ yz = 3x + x^2,\\ zx = 3y + y^2. \end{cases}

Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2 + (y+3)^2 + (z+3)^2$ , если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Не ищи решения системы сразу: сначала подумай, какие симметричные действия с тремя уравнениями дают выражения $x + y + z$ $xy + yz + zx$ и $x^2 + y^2 + z^2$ Запиши свой ответ, потом проверь его в модели и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВсе решения дают одно число

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Все решения дают одно число

Сколько у системы решений — и меняется ли сумма квадратов от решения к решению?

Если модель не открылась, попробуй так. Проверь тройку (1; −2; −2) подстановкой в три уравнения и посчитай (x+3)² + (y+3)² + (z+3)². Потом проверь тройку (−1; −1 + √3; −1 − √3).

Подсказка 1

Сложи все три уравнения — получится связь между $xy + yz + zx$ $x + y + z$ и $x^2 + y^2 + z^2$ Нужна ещё одна связь: попробуй перемножить уравнения или вычесть их попарно.

Подсказка 2

Перемножение даёт $(xyz)^2 = xyz\,(x+3)(y+3)(z+3)$ , и после сокращения на $xyz \neq 0$ $xyz = (x+3)(y+3)(z+3)$ то есть $(xy + yz + zx) + 3(x + y + z) = -9$ . Подставь сюда $xy + yz + zx$ из суммы уравнений и выдели $(x+3)^2 + (y+3)^2 + (z+3)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 6(x + y + z) + 27$ .

Разобрать решение по шагам

Складываем уравнения

Сумма левых частей равна $xy + yz + zx$ сумма правых — $3(x + y + z) + (x^2 + y^2 + z^2)$ :

xy + yz + zx = 3(x + y + z) + x^2 + y^2 + z^2. \qquad (1)

Перемножаем уравнения

Произведение левых частей — $(xyz)^2$ правых — $z(z+3) \cdot x(x+3) \cdot y(y+3) = xyz\,(x+3)(y+3)(z+3)$ . Так как $xyz \neq 0$ сокращаем:

xyz = (x+3)(y+3)(z+3) = xyz + 3(xy + yz + zx) + 9(x + y + z) + 27,

откуда $(xy + yz + zx) + 3(x + y + z) = -9$ . $\qquad (2)$

Исключаем xy + yz + zx

Подставим $(1)$ в $(2)$ $3(x+y+z) + x^2 + y^2 + z^2 + 3(x + y + z) = -9$ , то есть

x^2 + y^2 + z^2 + 6(x + y + z) = -9.

Выделяем нужное выражение

$(x+3)^2 + (y+3)^2 + (z+3)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 6(x + y + z) + 27 = -9 + 27 = 18$ .

Значение одно и то же для любого решения системы, а решения есть: например, $x = 1$ $y = z = -2$ (проверка: $xy = -2 = 3z + z^2$ $yz = 4 = 3x + x^2$ $zx = -2 = 3y + y^2$ ). Ответ: $18$

Замечание: решений бесконечно много

Вычитая уравнения попарно, получаем $(x - z)(x + y + z + 3) = 0$ и аналогично для других пар; случай $x = y = z$ даёт $x = 0$ поэтому $x + y + z = -3$ Тогда $xy = 3z + z^2 = z(3 + z) = -z(x + y)$ , то есть $xy + yz + zx = 0$ Обратно, из $x + y + z = -3$ и $xy + yz + zx = 0$ все три уравнения следуют. Это целая кривая решений (например, при $x = -1$ $y, z = -1 \pm \sqrt{3}$ ), и на всей кривой $x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = 9$ , а искомая сумма равна $9 - 18 + 27 = 18$

Проверка

Правила модели подставляют тройки в систему точно: $(1; -2; -2)$ и её перестановки удовлетворяют всем трём уравнениям, а выражение равно $18$ Семейство $x + y + z = -3$ $xy + yz + zx = 0$ (для выбранного $x$ числа $y$ $z$ — корни $u^2 + (3 + x)u + x(3 + x) = 0$ , $-3 < x \leqslant 1$ ) проверено на сетке: каждая тройка удовлетворяет системе и даёт $18$ Численный поиск методом Ньютона из $729$ начальных точек находит десятки различных решений, и на всех выражение равно $18$ с точностью $10^{-6}$ Для варианта $6$ ( $c = -2$ выражение $(x-2)^2 + \ldots$ ) те же проверки дают $8$

Ответ

$18$

Ответ

$18$

Главная идея

Сумма уравнений и их произведение (после сокращения на xyz ≠ 0) дают две связи между x + y + z, xy + yz + zx и x² + y² + z²; исключив xy + yz + zx, получаем x² + y² + z² + 6(x + y + z) = −9, то есть ровно искомую сумму минус 27.

Циклическая система с одинаковой структурой уравнений — складывай, перемножай и вычитай уравнения, чтобы выйти на симметрические функции x + y + z и xy + yz + zx.

Где легко ошибиться

Пытаться найти все решения явно и подставлять; при перемножении забыть, что сокращать на xyz можно только потому, что числа ненулевые; при раскрытии (x+3)(y+3)(z+3) потерять слагаемое 27.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 5, задача 1. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 6): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Начальный вход

Симметрические выражения: x + y + z, xy + yz + zx, x² + y² + z²
Раскрытие произведения трёх скобок
Сложение и умножение уравнений системы

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Удачная подстановка или замена · Теорема Виета

Задать вопрос по задаче →