Шесть сундуков: пары превращаются в тройки

Сначала найдём удобный ход

Например, из сундуков с $7$ и $13$ монетами можно сделать два сундука по $10$: $(7+13):2=10$. Сумма двух нечётных чисел чётная. У двух чётных чисел сумма тоже чётная. Значит, для первого этапа подходят пары одной чётности.

Три подходящие пары найдутся всегда

Всего монет $300$ — чётное число. Поэтому сундуков с нечётным количеством монет чётное число: $0$, $2$, $4$ или $6$. Иначе общая сумма была бы нечётной. Сундуков с чётным количеством тоже чётное число. Разобьём каждую из этих двух групп на пары. Получатся ровно три пары с чётными суммами. Пустой сундук относится к чётной группе: в нём $0$ монет.

Уравняем каждую пару

В каждой паре монеты делятся пополам, поэтому сделаем по одному разрешённому ходу. Уже равную пару можно не трогать. Теперь внутри каждой пары количества равны. На рисунке показан один пример; правило выбора пар работает для любого исходного распределения.

Открыть модель к этому разбору ↑

Возьмём из каждой пары по одному сундуку

Получатся две тройки. В первую попала ровно половина монет каждой пары, значит, и половина всех монет: $300:2=150$. Во второй осталось тоже $150$. Это верно независимо от того, сколько монет было в каждой паре. В примере первая строка содержит $10+30+110=150$, вторая — столько же.

Теперь уравняем две тройки

В каждой тройке $150$ монет, а $150:3=50$. Уравняем сначала первую тройку, затем вторую. Во всех сундуках по $50$ монет. Всего понадобилось не более $3+2=5$ ходов. Каждый ход затрагивал два или три сундука; запрет выбирать все шесть мы ни разу не нарушили.

Открыть модель к этому разбору ↑