Матпраздник 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Математика · 6 кл., №4

Условие

Алисе, профессору Селезнёву и капитану Зелёному подарили тортик в виде прямоугольного параллелепипеда. Каждый из них отрезал себе по куску толщиной 10 см параллельно одной из граней (то есть отступив от края 10 см с той стороны, с которой захотел) — сначала это сделала Алиса, затем профессор, потом капитан. В итоге Алисе досталась треть тортика, профессору — шестая часть, а капитану — пятая. Какие размеры имел тортик изначально?

Пример одного разреза из условия. Исходные размеры пока неизвестны; направления следующих срезов не показаны.

О задаче · 6 класс · 7 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 4

Официальные баллы7 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Три последовательных среза

Сначала выберите состояние. Цветом выделен снимаемый кусок, голубым — оставшаяся часть. Показано по одному из двух равнозначных противоположных краёв; разрез остаётся параллельным грани.

Видимость граней

Изменяются только ракурс, прозрачность и показываемые построения. Длины и углы из условия фиксированы. Автоматического вращения нет.

Исходные размеры уже найдены в разборе: $30\times40\times25$ см. Вращайте модель; камера не меняет размеры.

Все статичные виды и пояснения

Целый торт

Исходные размеры уже найдены в разборе: $30\times40\times25$ см. Вращайте модель; камера не меняет размеры.

Срез Алисы

Золотистый слой толщиной $10$ см: $10\cdot40\cdot25=10\,000$ см $^3$ Остаток: $20\times40\times25$ см.

Срез профессора

Зелёный слой в другом направлении: $20\cdot10\cdot25=5\,000$ см $^3$ Золотистый кусок уже снят. Остаток: $20\times30\times25$ см.

Срез капитана

Сиреневый слой в третьем направлении: $20\cdot30\cdot10=6\,000$ см $^3$ Ранее снятые куски скрыты. Остаток: $20\times30\times15$ см.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

У слоя и оставшегося торта одинаковая площадь основания. Поэтому доля объёма равна доле длины в направлении среза.

Подсказка 2

После Алисы осталось $\frac23$ торта. Если профессор режет в том же направлении, сколько он получит? Затем сравните его $\frac16$ целого с остатком.

Разобрать решение по шагам

Почему можно сравнивать толщины

Представьте прямоугольную буханку: одинаковые по толщине ломти имеют одинаковый объём. Здесь так же: если режем параллельно грани, площадь каждого слоя одинакова. Поэтому доля куска зависит только от того, какую часть длины составляет его толщина. После среза остаток снова прямоугольный параллелепипед.

Первое направление даёт 30 сантиметров

Алисин слой толщиной $10$ см — треть торта. В этом направлении весь торт состоит из трёх одинаковых слоёв. Поэтому длина равна $10\cdot3=30$ см, а у остатка она равна $30-10=20$ см. Объём остатка — $\frac23$ исходного.

Полоска показывает длину в направлении первого разреза, а не вид торта сверху.

Почему профессор должен сменить направление

Если отрезать ещё $10$ см вдоль оставшихся $20$ см, получится половина остатка. Но половина от $\frac23$ — это $\frac13$ целого, а профессору досталась $\frac16$ Значит, так он не резал: он выбрал другое направление. Неважно, с какого из двух противоположных краёв: доля была бы той же.

Находим вторую сторону

После Алисы осталось $\frac23=\frac46$ торта. Профессор получил одну из этих четырёх шестых, то есть четверть остатка. Его $10$ см составляют четверть второй стороны. Эта сторона равна $10\cdot4=40$ см; после среза остаётся $40-10=30$ см.

Четыре равных слоя во втором направлении. Указанные доли относятся к остатку после Алисы.

Пересчитываем остаток перед капитаном

От исходного объёма осталось

1-\frac13-\frac16=\frac66-\frac26-\frac16=\frac36=\frac12.

Две стороны остатка уже известны: $20$ см и $30$ см. Проверим их обе, чтобы не угадывать последнее направление.

Направление	Доля текущего остатка	Доля исходного торта
Вдоль $20$ см	$\frac{10}{20}=\frac12$	$\frac12\cdot\frac12=\frac14$
Вдоль $30$ см	$\frac{10}{30}=\frac13$	$\frac13\cdot\frac12=\frac16$

Остаётся третье направление

Капитану досталась $\frac15$ исходного торта. В таблице этой доли нет, значит, он резал в третьем направлении. Его доля от остатка равна

\frac15:\frac12=\frac15\cdot2=\frac25.

Эти две пятых имеют толщину $10$ см. Одна пятая — $10:2=5$ см, вся сторона — $5\cdot5=25$ см. Эту сторону до капитана ещё не уменьшали.

Сверим все три куска на одной модели

Исходный объём: $30\cdot40\cdot25=30\,000$ см $^3$ По порядку отрезаются $10\,000$ $5\,000$ и $6\,000$ см $^3$ то есть ровно $\frac13$ $\frac16$ и $\frac15$ Модель показывает каждый срез отдельно. Все направления проверены: у параллелепипеда три пары противоположных граней; противоположные края дают равные по объёму слои.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$30\text{ см}\times40\text{ см}\times25\text{ см}$ , порядок сторон не важен.

Главная идея

Каждый раз различать долю исходного торта и долю текущего остатка. Затем исключать уже использованные направления среза.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если одинаковая толщина даёт разные доли объёма, сравните длины вдоль разреза. После каждого действия сначала обновите остаток.

Возможная ошибка

Считать $\frac16$ долей оставшегося куска. В условии все три доли относятся к исходному торту.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 5 · задача 4 ↗

Математический праздник · 2026 год · учебный сезон 2025/26 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: И. Русских.

Официальное решение · страницы 5, 6 ↗

Условие сверено с оригинальным PDF. Доказательство проверено отдельно от официального ответа вторым ИИ-рецензентом; выполнены проверки случаев и официальная сверка.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Многогранники и объёмы →

Тема, знания и приёмы

Многогранники и объёмы · Продвинутая подготовка

Доля целого
Объём прямоугольного параллелепипеда
Одинаковые основания

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →