Телефон Тани

Сначала оставим одну, две и три цифры

Начать с полного десятизначного числа трудно. Зато после стирания девяти цифр остаётся одна ненулевая цифра, кратная $9$: это $9$. Двузначное начало должно делиться на $8$. Между $90$ и $99$ подходит только $96=8\cdot12$. Трёхзначное начало делится на $7$; из чисел от $960$ до $969$ подходит только $966=7\cdot138$.

Повтор уже использован

В десяти местах стоят девять разных цифр: значит, одна цифра встречается дважды, а остальные по одному разу. Мы уже получили две шестёрки. Поэтому дальше нельзя снова писать ни $6$, ни $9$, ни любую другую уже использованную цифру.

Достроим начало по одной цифре

Каждая следующая проверка добавляет ровно одну цифру. Чтобы число делилось на $6$, оно должно быть чётным и иметь сумму цифр, кратную $3$. Для делимости на $4$ достаточно проверить последние две цифры; для делимости на $3$ — сумму всех цифр. Эти правила дают:

Две последние цифры выбираем из трёх

Остались цифры $1,3,7$. Нужно выбрать две разные и расставить их: возможны окончания $13,17,31,37,71,73$.

Воспользуемся признаком делимости на $11$: отдельно сложим цифры на нечётных местах и на чётных; разность этих сумм должна делиться на $11$. У известного начала суммы равны $9+6+5+8=28$ и $6+0+2+4=12$. Предпоследняя цифра прибавится к $28$, последняя — к $12$.

Проверим полный номер

Получилось $9660528471=11\cdot878229861$. В нём ровно девять разных цифр: отсутствует $3$, повторяется только $6$. Проверки всех коротких начал уже выполнены в таблице выше. На каждом шаге цифра была вынуждена, а из шести окончаний подошло одно. Поэтому номер не только подходит — другого нет.