Матпраздник 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Математика · 6 кл., №6

Условие

Есть трое песочных часов: большие на 5 минут, средние на 3 минуты и маленькие на 2 минуты. Но в одних из них песка чуть больше, чем надо, и он сыплется на несколько секунд дольше, чем положено. Как найти бракованные часы, затратив меньше пяти минут? (Считаем, что на запуск и переворачивание часов время не тратится.)

О задаче · 6 класс · 9 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 6

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЧто покажет опыт с часами?

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Проверь способ из разбора

Что покажет опыт с часами?

Предскажи, какие часы опустеют первыми после описанных переворотов, затем запусти опыт.

Модель применяет способ из разбора: все часы запускаются вместе, при первом опустошении маленьких переворачиваются маленькие и большие, при опустошении средних — маленькие. Общая шкала времени объяснена в решении.

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 1

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Три возможных виновника

Время на шкале отсчитывается от общего запуска. Положение отметок для наглядности показано при ε = 12 секунд; подписи дают точные общие формулы. Пустотелый участок за первым финишем не нужно ждать.

1. Лишний песок в больших

Маленькие впервые опустели через $120$ секунд, средние — через $180$ Большие после переворота сыплются $120$ секунд: всего $120+120=240$ Маленьким после второго переворота остаётся $180-120=60$ секунд: всего $180+60=240$ Финиш одновременный.

Ответ известен через 240 секунд, то есть 4 минуты.

2. Лишний песок в средних

Первый переворот происходит через $120$ секунд, второй — через $180+\varepsilon$ Вниз в маленьких успело пересыпаться песка на $(180+\varepsilon)-120=60+\varepsilon$ секунд. Их финиш был бы через $(180+\varepsilon)+(60+\varepsilon)=240+2\varepsilon$ секунд. Большие заканчивают раньше, через $240$ секунд: в этот момент ответ уже известен.

Большие первые. Окончания маленьких ждать не надо.

3. Лишний песок в маленьких

Первый переворот происходит через $120+\varepsilon$ секунд, второй — через $180$ Маленьким после второго переворота остаётся $180-(120+\varepsilon)=60-\varepsilon$ секунд. Они заканчивают через $180+(60-\varepsilon)=240-\varepsilon$ секунд. Большие закончили бы через $(120+\varepsilon)+(120+\varepsilon)=240+2\varepsilon$ секунд. Первыми заканчивают маленькие, и это происходит раньше четырёх минут.

Маленькие первые. Окончания больших ждать не надо.

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель 2

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверьте, как добавка меняет порядок событий

Выберите неисправные часы и лишний песок. Число секунд известно модели; самому способу его знать не нужно.

Лишний песок в часах Лишнее время: 12 с

Особенно полезно сравнить 59, 60 и 61 секунду: при 60 меняется ветка способа. Ползунок охватывает и добавки больше указанных в условии нескольких секунд.

Синий песок — сверху. Подпись показывает, на сколько секунд его хватит. Состояние дано сразу после указанных переворотов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Можно ли использовать большие часы, не дожидаясь, пока весь их песок пересыплется? Что произойдёт, если перевернуть их во время работы?

Подсказка 2

Запустите все часы. При первом опустошении маленьких переверните маленькие и большие, а при опустошении средних — ещё раз маленькие. Сравните, когда после этого опустеют маленькие и большие.

Разобрать решение по шагам

Переворот запоминает уже прошедшее время

Пусть часы сыпались $2$ минуты и ещё не опустели. Вниз попало песка ровно на $2$ минуты. Перевернём часы: этот песок окажется сверху и будет сыпаться ещё $2$ минуты. Так можно отмерить одинаковые промежутки, даже если полная длительность этих часов неизвестна. Используем это свойство больших часов.

Учебный пример: полные часы на 5 минут сыпались 2 минуты. Золотой цвет следует за той же порцией песка. Это ещё не запуск алгоритма.

Запустим все трое часов

Ждём первого опустошения. Как только опустеют маленькие, перевернём и их, и большие. В больших вверх вернётся именно тот песок, который успел пересыпаться за первый ход маленьких. Поэтому теперь большие и маленькие должны закончить одновременно, если больше их не трогать. Если вдруг средние опустели раньше маленьких или вместе с ними, ответ уже найден: неисправны маленькие. Ведь исправные маленькие закончились бы за $2$ минуты, раньше средних.

При опустошении средних перевернём маленькие ещё раз

Большие оставим как есть. Маленькие после нового переворота будут сыпаться ровно столько, сколько прошло между их первым опустошением и опустошением средних. Есть ещё один случай, когда можно остановиться раньше: если после предыдущего шага большие и маленькие закончились раньше средних или вместе со средними, неисправны средние. В двух других случаях исправные средние закончились бы раньше этой пары.

Сравним маленькие и большие

Теперь смотрим только на первое опустошение этой пары. Маленькие закончились первыми — неисправны маленькие. Большие первыми — неисправны средние. Одновременно — неисправны большие. Проверим все три возможности. Обозначим неизвестную добавку буквой $\varepsilon$ это число лишних секунд. На трёх шкалах ниже рассматривается $0<\varepsilon<60$ Саму добавку измерять не нужно.

Открыть модель к этому разбору ↑

Почему пяти минут точно достаточно

При добавке меньше $60$ секунд последний шаг даёт ответ через $240$ или $240-\varepsilon$ секунд — не позже четырёх минут. Условие говорит о нескольких лишних секундах; мы даже предусмотрели более долгую задержку. Если у маленьких добавка $\varepsilon\ge60$ средние опустеют первыми или одновременно с ними, и ответ появится через $180$ секунд. Если такая добавка у средних, большие и маленькие после первого переворота опустеют раньше средних или одновременно с ними, и ответ появится через $240$ секунд. При $\varepsilon=60$ подходят именно ветки «одновременно». Если испорчены большие, размер добавки вообще не влияет на наш четырёхминутный опыт. Во всех случаях $4<5$ минут.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Неисправные часы можно найти не позднее чем через $4$ минуты. В последней паре: маленькие первыми — неисправны маленькие; большие первыми — средние; одновременно — большие. Ранние случаи разобраны в шагах 2–3.

Главная идея

Переворот работающих часов позволяет сохранить промежуток времени в уже пересыпавшемся песке. Сравнивать нужно моменты опустошения, а не ждать полного хода больших часов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если полная длительность прибора неизвестна, попробуйте отмерить им промежуток туда и обратно. Сравнение двух событий может дать ответ раньше полного измерения.

Возможная ошибка

Ждать, пока закончатся оба сравниваемых часа. Достаточно первого опустошения: оно сразу показывает нужный случай. Вторые часы могут закончиться позже, но время ожидания уже не требуется.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7 · задача 6 ↗

Математический праздник · 2026 год · учебный сезон 2025/26 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: Т. Казицына.

Официальное решение · страницы 7, 8 ↗

Условие сверено с оригинальным PDF. Доказательство проверено отдельно от официального ответа вторым ИИ-рецензентом; выполнены проверки случаев и официальная сверка.

Примечания к источнику

Протокол отличается от официального: все часы запускаются вместе; у первого опустошения маленьких переворачиваются маленькие и большие, у опустошения средних — маленькие. Поэтому названия часов в сравнении не следует механически переносить из официального алгоритма.

Основная гонка требует 0 < ε < 60 секунд. Две ранние ветки корректно обрабатывают ε ≥ 60 секунд, включая совпадения при ε = 60; весь алгоритм работает для любой положительной добавки.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Поиск и алгоритмы →

Тема, знания и приёмы

Поиск и алгоритмы · Продвинутая подготовка

Перевод минут в секунды
Сложение и вычитание промежутков времени
Равномерное пересыпание песка

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →