Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №4 — решение · финал

Условие

На доске написано $5$ целых чисел. Рассмотрим все попарные суммы написанных чисел. Сколько из них могло оказаться чётными? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Какие две чётности дают чётную сумму?

Подсказка 2

Достаточно знать количество чётных чисел; сами значения чисел роли не играют.

Разобрать решение по шагам

Разделим числа на две группы

Чётная сумма получается из двух чётных или двух нечётных чисел. Чётное плюс нечётное даёт нечётную сумму. Поэтому важно только число чётных чисел среди пяти.

Посчитаем пары внутри групп

Из двух чисел образуется $1$ пара, из трёх — $3$ из четырёх — $6$ из пяти — $10$ Последнее можно увидеть так: первое число образует четыре пары с последующими, второе ещё три, затем две и одну: $4+3+2+1=10$ Составим все случаи:

Чётных	Нечётных	Чётных сумм
$0$	$5$	$0+10=10$
$1$	$4$	$0+6=6$
$2$	$3$	$1+3=4$
$3$	$2$	$3+1=4$
$4$	$1$	$6+0=6$
$5$	$0$	$10+0=10$

Покажем примеры

Для $4$ чётных сумм подойдут $1,3,5,2,4$ для $6$ — $1,2,4,6,8$ для $10$ — $2,4,6,8,10$ Все варианты числа чётных чисел уже рассмотрены, других ответов нет.

Ответ

$4$ $6$ или $10$ чётных сумм.

Главная идея

Чётность попарных сумм определяется только размерами двух групп — чётных и нечётных чисел.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если вопрос касается только чётности, замените конкретные числа метками «чётное» и «нечётное».

Возможная ошибка

Считать пару двух нечётных чисел нечётной или учитывать одну пару дважды в разном порядке.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 25 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 25, 26 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Чётность →

Тема, знания и приёмы

Чётность · Начальный вход

Чётность суммы
Подсчёт пар без повторов

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →