Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №3 — решение · финал

Условие

В конкурсе чтецов участвовали Аня, Боря, Витя, Галя и Дима. Два хулигана Саша и Яша делали ставки на их итоговые места. Саша объявил: «Аня – первая, Боря – второй, Витя – третий, Галя – четвёртая, Дима – пятый». На что Яша возразил: «Витя – первый, Дима – второй, Аня – третья, Боря – четвёртый, Галя – пятая». Оказалось, что Саша верно угадал места ровно троих ребят, а Яша – ровно двоих. Кто какое место занял в конкурсе чтецов?

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните прогнозы: есть ли участник, которому оба предсказали одно место?

Подсказка 2

Всего верно $3+2=5$ прогнозов, а участников тоже пять. У каждого должен сбыться ровно один из двух прогнозов.

Разобрать решение по шагам

У каждого ровно один верный прогноз

Для каждого участника Саша и Яша назвали разные места. Поэтому оба прогноза об одном человеке не могут быть верны. Верных прогнозов всего $3+2=5$ участников тоже $5$ значит, про каждого верен ровно один прогноз. Ни одного участника с двумя ошибочными прогнозами быть не может.

Посмотрим, кого связывают одни и те же места

Первое и третье места в прогнозах заняты только Аней и Витей. Они должны занять эти два места. Вторая группа — Боря, Галя и Дима: они занимают второе, четвёртое и пятое места. Если в первой группе верен прогноз Саши для Ани, то третье место остаётся Вите — тоже по Саше. Если верен прогноз Яши, оба места идут по Яше.

Проверим вторую группу

Если Боря второй, Дима не может быть вторым, значит, он пятый; тогда Галя четвёртая. Все три места совпадают с Сашиными. Если Боря четвёртый, Галя не четвёртая, значит, пятая; тогда Дима второй. Все три совпадают с Яшиными. Итак, верные прогнозы идут группами по $2$ и по $3$ У Саши ровно $3$ верных, поэтому ему досталась тройка, а Яше — пара.

Запишем места и проверим

Получаем итог:

Место	Участник	Чей прогноз верен
$1$	Витя	Яши
$2$	Боря	Саши
$3$	Аня	Яши
$4$	Галя	Саши
$5$	Дима	Саши

Ответ

Витя — $1$ Боря — $2$ Аня — $3$ Галя — $4$ Дима — $5$

Главная идея

Если число несовместимых верных прогнозов равно числу участников, каждый участник получает ровно один верный прогноз.

Как заметить эту идею в другой задаче

Сначала сравните общее число попаданий с числом объектов: иногда это превращает частичную информацию в точное правило для каждого.

Возможная ошибка

Выбрать любые три места из первого списка и два из второго, не проверив, не оказались ли два человека на одном месте.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 25 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 25 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Высказывания и логические выводы →

Тема, знания и приёмы

Высказывания и логические выводы · Нужна школьная база

Логические выводы
Различные места участников

Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →