Бельчонок 2025/26 · Математика · 6 кл., №5 — решение · финал

Условие

Шахматный король первый ход делает бесплатно. Каждый следующий ход бесплатный, если он в том же направлении, что и предыдущий, а при смене направления король платит рубль. Докажите, что можно обойти всю доску $40\times40$ за $77$ рублей. (На одной клетке можно побывать и несколько раз.)

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Шесть завершающих участков

Переключайте состояния. Каждая схема добавляет один шаг; все состояния доступны и без анимации.

1. После участка 1

Показаны первые $1$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

2. После участка 2

Показаны первые $2$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

3. После участка 3

Показаны первые $3$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

4. После участка 4

Показаны первые $4$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

5. После участка 5

Показаны первые $5$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

6. После участка 6

Показаны первые $6$ прямых участков. Остальные клетки доски уже пройдены спиралью.

Кнопка «Все состояния» показывает схемы последовательно.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Платим не за клетки и не за длину пути, а за смены направления. Длинный прямой участок стоит столько же, сколько короткий.

Подсказка 2

Удобно пройти внешние слои спиралью, а маленький остаток закончить с диагональными ходами. Повторные посещения разрешены.

Разобрать решение по шагам

Заменим ходы прямыми участками

Несколько ходов подряд в одном направлении составляют один прямой участок. Если маршрут состоит из $78$ таких участков и соседние направления различны, он стоит $77$ рублей: первый участок бесплатный, каждый из следующих начинается с одного платного поворота.

Обойдём внешние слои спиралью

Начнём в левом верхнем углу. Идём вправо до края, вниз до края, влево до края, затем вверх, остановившись перед уже пройденной верхней строкой. Продолжаем так же: вправо, вниз, влево, вверх, каждый раз останавливаясь перед ранее пройденной частью спирали. Один такой виток содержит четыре прямых участка и уменьшает непройденный квадрат на две строки и два столбца. После $18$ витков останется центральный квадрат $40-2\cdot18=4$ на $4$ Мы прошли $18\cdot4=72$ прямых участка и стоим слева от верхней клетки этого квадрата. Все остальные клетки доски посещены.

Закончим за шесть прямых участков

На схеме жёлтый квадрат $4\times4$ ещё не пройден, серые клетки уже посещены. Номера столбцов и строк от $0$ до $5$ относятся только к этому маленькому фрагменту. Запись $(x,y)$ обозначает столбец $x$ и строку $y$ Мы стоим в $(0,1)$ Последовательно идём по прямым через клетки с центрами:

Участок	Откуда	Куда	Направление
$1$	$(0,1)$	$(5,1)$	Вправо
$2$	$(5,1)$	$(1,5)$	Вниз-влево
$3$	$(1,5)$	$(1,0)$	Вверх
$4$	$(1,0)$	$(5,4)$	Вниз-вправо
$5$	$(5,4)$	$(2,4)$	Влево
$6$	$(2,4)$	$(2,0)$	Вверх

Фрагмент находится в центре доски: серые клетки тоже принадлежат доске, по ним можно идти повторно.

Проверим покрытие четырёх строк

Первый участок проходит всю верхнюю жёлтую строку. В каждой из двух средних строк диагонали дают две клетки справа, а третьим и шестым участками проходятся два левых столбца. В нижней строке первый слева столбец пройден третьим участком, остальные три — пятым. Значит, все $16$ оставшихся клеток посещены.

Посчитаем плату

Последнее направление спирали — вверх, первый завершающий участок направлен вправо; здесь тоже есть поворот. Итого $72+6=78$ прямых участков, то есть $78-1=77$ рублей. Маршрут нигде не выходит за доску. Доказывать, что дешевле нельзя, условие не требует.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Описанный маршрут проходит все клетки за $77$ рублей.

Главная идея

Большую регулярную часть можно пройти одинаковыми блоками, а небольшой остаток завершить отдельной конструкцией.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если цена зависит от поворотов, считайте прямые участки, а не отдельные ходы; разрешённые повторения могут упростить остаток.

Возможная ошибка

Считать поворотом каждый ход либо запрещать повторные клетки, хотя условие прямо их разрешает.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 26 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 26 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Поиск и алгоритмы →

Тема, знания и приёмы

Поиск и алгоритмы · Нужна школьная база

Ходы шахматного короля
Подсчёт поворотов
Клетчатая сетка

Приёмы решения: Дополнительное построение · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →