Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 6 кл., №2

Условие

Из прямоугольника $3\times6$ вырезали одну клетку (см. рис.). «Пришейте» эту клетку в другом месте так, чтобы получилась фигура, которую можно разрезать на две одинаковых.

Схема к условию. Дополнительные построения ещё не показаны.

О задаче · 6 класс · 5 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 2

Официальные баллы5 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПеренеси клетку и раздели фигуру

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Твоя конструкция

Перенеси клетку и раздели фигуру

Получатся ли две одинаковые связные части?

Без интерактива: перенеси вырезанную клетку над вторым столбцом. В разборе две девятиклеточные части показаны разными цветами и совмещаются поворотом.

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 1

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверка совмещения

Переключайте состояния или покажите их все. Каждое состояние добавляет один шаг.

1. Синяя часть

Выделим её отдельно.

2. После поворота

Поворот на четверть оборота против часовой стрелки даёт тот же набор клеток, что у оранжевой части.

3. Оранжевая часть

Сравните контур с предыдущим состоянием: он совпадает.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

После переноса клетки общая площадь снова будет 18. Значит, нужно получить две одинаковые фигуры по девять клеток.

Подсказка 2

Не обязательно восстанавливать прямоугольник. Попробуйте добавить клетку сверху и искать части, совмещаемые поворотом.

Разобрать решение по шагам

Определим цель

После возвращения вырезанной клетки площадь фигуры будет $18$ поэтому каждой части нужно по $9$ клеток. Но вернуть клетку в прежнее место нельзя: условие требует приклеить её в другом месте.

Выберем место и линию разреза

Считая столбцы слева направо, приклеим клетку сверху над вторым столбцом. Разделим фигуру по границе синего и оранжевого цветов. В каждой части девять клеток.

Плюс отмечает приклеенную клетку. Вырезанное место в пятом столбце верхней исходной строки осталось пустым.

Проверим именно форму

Синюю часть можно повернуть на четверть оборота против часовой стрелки и сдвинуть на оранжевую: совпадёт каждая клетка. На отдельной схеме обе части поставлены в одинаковое положение. Это подтверждает равенство фигур; одним подсчётом площади проверка не ограничивается.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Приклеить клетку над вторым столбцом и разрезать, как показано в решении.

Главная идея

При поиске одинаковых частей разрешено менять их положение. Поворот часто позволяет использовать выступ там, где вторая часть имеет такой же выступ в другом направлении.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если требуется перенести клетку, сначала зафиксируйте площадь частей, затем ищите одинаковые контуры, допускающие поворот.

Возможная ошибка

Пытаться обязательно получить прямоугольник: условие этого не требует.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 2 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: Т. Казицына.

Официальное решение · страницы 3, 4 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?