Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 6 кл., №3

Условие

В сумме $\text{П,Я}+\text{Т,Ь}+\text{Д,Р}+\text{О,Б}+\text{Е,Й}$ все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно? Для каждого возможного ответа напишите один пример с такими пятью слагаемыми. Объясните, почему другие суммы получить нельзя.

Это же условие дано в варианте 7 класса, задача 3. Для обоих классов здесь один разбор и общая отметка решения.

О задаче · 6 класс · 7 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 3

Официальные баллы7 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте сумму всех десяти цифр. От каких цифр зависит, будет ли сумма дробей целой?

Подсказка 2

Пять цифр после запятой ненулевые и различны. Их сумма должна быть кратна десяти. Какие десятки возможны между минимальной и максимальной суммой?

Разобрать решение по шагам

Отделим целые части от десятых

В записи использованы все цифры от $0$ до $9$ поэтому их сумма

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

Чтобы сумма пяти дробей была целой, сумма цифр после запятой должна делиться на $10$ Например, $20$ десятых дают $2$ а $30$ десятых — $3$

Ограничим сумму последних цифр

Каждая дробь не целая, поэтому после запятой не может стоять $0$ Пять различных ненулевых цифр дают не меньше

1+2+3+4+5=15

и не больше

5+6+7+8+9=35.

Между $15$ и $35$ только два числа делятся на десять: $20$ и $30$

Найдём обе суммы

Если после запятой цифры дают $20$ перед запятой они дают $45-20=25$ Полная сумма: $25+2=27$ Если после запятой сумма $30$ перед запятой остаётся $45-30=15$ Полная сумма: $15+3=18$

После запятой	Перед запятой	Сумма дробей
$20$	$25$	$27$
$30$	$15$	$18$

Построим примеры для обоих ответов

Оба значения достигаются:

0{,}1+4{,}2+5{,}3+7{,}6+9{,}8=27;

0{,}4+1{,}5+2{,}6+3{,}7+9{,}8=18.

В каждой строке все десять цифр различны и ни одна дробь не целая.

Ответ

$18$ и $27$ примеры приведены в последнем шаге.

Главная идея

Вместо перебора всех перестановок цифр достаточно следить за суммой цифр в двух разрядах.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если одни и те же цифры распределяются по разрядам, сохраните их общую сумму и отдельно учтите стоимость каждого разряда.

Возможная ошибка

Разрешить ноль после запятой. Тогда одна из дробей стала бы целой, что запрещено.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 3 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: А. Шаповалов.

Официальное решение · страницы 4, 5 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Начальный вход

Десятичные дроби
Делимость на десять

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →