Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 6 кл., №5

Условие

Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника 2×3. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!» Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание?

О задаче · 6 класс · 8 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 5

Официальные баллы8 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Расставь шкатулки и выбери взвешиваемые. Различимы ли все восемь действий?

Можно нарисовать прямоугольник 2×3, выбрать клетки и вручную выписать восемь сумм: семь соседних обменов и отсутствие обмена.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если шах поменяет две выбранные монеты между собой, общий вес не изменится. Как выбирать клетки, чтобы у любых соседей ровно одна попадала во взвешивание?

Подсказка 2

Выбери клетки в шахматном порядке. Теперь подбери надписи так, чтобы семь соседних обменов давали семь разных изменений суммы.

Разобрать решение по шагам

Сделаем каждый обмен заметным

Если взвешивать обе соседние шкатулки или не взвешивать ни одну, обмен между ними не повлияет на сумму. Поэтому выберем клетки в шахматном порядке: верхнюю левую, верхнюю правую и нижнюю среднюю. При любом разрешённом обмене ровно одна монета входит во взвешивание.

Подберём различимые изменения

Расставим шкатулки так: сверху $1,3,6$ снизу $5,4,2$ Взвешиваем шкатулки с надписями $1,6,4$ Без обмена сумма равна $1+6+4=11$ Например, после обмена монет в шкатулках $1$ и $3$ вместо $1$ г во взвешивание попадут $3$ г: сумма вырастет на $2$ г.

Числа — неизменные надписи. Шах переставляет монеты внутри выбранных им соседних шкатулок.

Проверим все действия шаха

Горизонтальные обмены дают: $1\leftrightarrow3$ — $13$ г; $3\leftrightarrow6$ — $8$ г; $5\leftrightarrow4$ — $12$ г; $4\leftrightarrow2$ — $9$ г. Вертикальные: $1\leftrightarrow5$ — $15$ г; $3\leftrightarrow4$ — $10$ г; $6\leftrightarrow2$ — $7$ г. Без обмена — $11$ г. Все восемь результатов различны, значит, по названной сумме мудрец однозначно узнает действие шаха.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Расставить шкатулки рядами 1, 3, 6 / 5, 4, 2 и спросить общий вес монет в шкатулках 1, 6 и 4. Таблица всех восьми исходов приведена в разборе.

Главная идея

Опыт должен различать любые два допустимых события, в том числе отсутствие события.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если нужно узнать скрытое действие по одному измерению, составь список всех действий и добейся разных показаний для каждого.

Возможная ошибка

Проверить только один обмен или забыть случай, когда шах ничего не меняет.

Источник и примечания

Официальный источник

Материал организатора · задача 5 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: А. Шаповалов.

Официальное решение · страницы 6, 7 ↗

Условие и рисунки сверены с официальным источником. Авторское решение подготовлено до чтения официального; доказательство проверено отдельно и сопоставлено с материалами организатора.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Поиск и алгоритмы →

Тема, знания и приёмы

Поиск и алгоритмы · Продвинутая подготовка

Сложение и разность целых чисел

Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →