Popov AcademyУсловие
В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?
О задаче · 6 класс · 8 баллов
Для подготовки: 6 класс.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеОткрыть модель
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Своя попытка
Исследуй задачу
Составь свой круг и проверь все условия о соседях.
Запиши круг буквами О, Х, Т. Для каждого места проверь три слева, пять справа и четыре ближайших соседа; сам человек в эти группы не входит.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Попробуй считать хорошистов. Каждый хорошист тоже обязан иметь другого хорошиста не дальше чем через одного.
Подсказка 2
Рассмотри учеников между двумя соседними отличниками. Их не больше четырёх. Сколько хорошистов может находиться в таком промежутке?
Разобрать решение по шагам
Переведём условия на короткие отрезки круга
Среди любых трёх подряд есть троечник: эти трое являются тремя левыми соседями следующего ученика. Среди любых пяти подряд есть отличник: эти пятеро являются правыми соседями предыдущего. Поэтому между двумя соседними отличниками стоят не более четырёх человек.
Хорошист находит пару в своём промежутке
У каждого хорошиста должен быть другой хорошист на расстоянии один или два шага. Этот второй хорошист не может находиться за отличником: тогда подряд стояли бы «хорошист — отличник — хорошист», то есть трое без троечника. Значит, в промежутке между отличниками хорошист не бывает один: если он есть, их хотя бы двое.
Три хорошиста в промежутке не поместятся
В промежутке не более четырёх мест. Если хорошистов хотя бы трое, то либо три хорошиста стоят подряд, либо внутри четырёх мест стоят три хорошиста и один троечник. Во втором случае пара хорошистов обязательно примыкает к одному из краёв промежутка. Вместе с крайним отличником она снова даёт троих подряд без троечника. Оба случая запрещены. Значит, каждый промежуток содержит ровно ноль или два хорошиста.
Чётность даёт противоречие
Складывая по всем промежуткам, получаем чётное число хорошистов. Если отличников и троечников поровну, их общее число тоже чётно. Тогда и всех учеников должно быть чётное число. Но их . Следовательно, равенство невозможно.
Ответ
Нет, отличников и троечников не может быть поровну.
Главная идея
Локальное требование может разбить один из видов участников на пары; тогда решающим становится чётность общего числа.
Как заметить эту идею в другой задаче
При условиях на близких соседей ищи короткие группы между участниками одного выбранного вида.
Возможная ошибка
Считать самого ученика своим соседом или проверить расстановку в строку, забыв замыкание круга.
Источник и примечания
Официальный источник
Материал организатора · задача 6 ↗Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 6 класс · классический матпраздник.
Авторы: А. Шаповалов.
Официальное решение · страницы 7 ↗
Условие и рисунки сверены с официальным источником. Авторское решение подготовлено до чтения официального; доказательство проверено отдельно и сопоставлено с материалами организатора.
Можете объяснить идею своими словами?
Тема, знания и приёмы
Чётность · Продвинутая подготовка
- Чётность и подсчёт по группам
Приёмы решения: Оценка и достижимость