Матпраздник 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Математика · 6 кл., №1

Условие

У Кати и Маши расчёски одинаковой длины. У каждой расчёски все зубчики одинаковые, а расстояния между зубчиками равны ширине зубчика. В Катиной расчёске 11 зубчиков (см. рис.). Сколько зубчиков в Машиной расчёске, если они в пять раз уже зубчиков Катиной расчёски?

Схема к условию. Дополнительные построения ещё не показаны.

О задаче · 6 класс · 5 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2024 год · учебный сезон 2023/24 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 1

Официальные баллы5 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСравни две расчёски

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Твоя конструкция

Сравни две расчёски

Сколько малых зубчиков дадут ту же длину?

Без интерактива: нарисуй несколько зубчиков и промежутков. У расчёски с n зубчиками всего 2n−1 одинаковых полосок. Сравни общую длину в ширинах малого зубчика.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Посчитайте не только зубчики, но и промежутки между ними. Их одинаковое количество?

Подсказка 2

У расчёски с тремя зубчиками два промежутка. Сколько одинаковых по ширине участков у расчёски с 11 зубчиками?

Разобрать решение по шагам

Заметим один лишний зубчик

У расчёски с тремя зубчиками два промежутка: зубчик — промежуток — зубчик — промежуток — зубчик. Всего пять одинаковых по ширине участков. Всегда зубчиков на один больше, чем промежутков.

В короткой цепочке и в настоящей расчёске зубчиков на один больше, чем промежутков.

Перейдём к более тонкой мерке

Катина расчёска состоит по длине из $11+10=21$ участка шириной в один Катин зубчик. Машин зубчик в пять раз тоньше, значит, в ту же длину помещается

21\cdot5=105

участков шириной в Машин зубчик.

Обе расчёски нарисованы в одном масштабе между одинаковыми границами. Внизу отдельно увеличена мерка: одна крупная ширина равна пяти мелким; это мерки длины, а не пять зубчиков подряд.

Разделим участки на зубчики и промежутки

Из $105$ чередующихся участков один лишний — зубчик. Временно уберём его: останется $104$ поровну зубчиков и промежутков. Зубчиков было

104:2+1=52+1=53.

Проверка: $53$ зубчика и $52$ промежутка дают $105$ участков.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$53$ зубчика.

Главная идея

В чередующейся цепочке нужно учитывать края: первый и последний элементы одного вида дают один лишний элемент.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если предмет состоит из одинаковых деталей и равных промежутков, нарисуйте короткую цепочку и отдельно посчитайте детали и промежутки.

Возможная ошибка

Умножить 11 на 5. Уменьшается ширина и зубчиков, и промежутков; их количества не одинаковы.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Математический праздник · 2024 год · учебный сезон 2023/24 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: Т. Казицына.

Официальное решение · страницы 3 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Счёт и величины →

Тема, знания и приёмы

Счёт и величины · Нужна школьная база

Умножение и деление
Чередование

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →