Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №3 — решение · финал

Условие

Разрежьте фигуру по линиям сетки на девять различных частей, состоящих из $5$ клеток (части равны, если при наложении совпадают, их можно поворачивать и переворачивать).

Контур точно восстановлен по официальному рисунку: верхний вырез — 2 клетки, нижний — 3.

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Попробуйте выделить часть у правого края. После каждого разреза следите, чтобы не осталось изолированной области, число клеток которой не делится на $5$

Подсказка 2

У правого края можно выделить вертикальную полоску из пяти клеток. Затем отделите ещё одну часть, охватывающую правый внутренний вырез.

Разобрать решение по шагам

Проверяем площадь и смысл требования

Фигура помещается в прямоугольник $10\times5$ из которого удалены $2$ клетки сверху и $3$ снизу. Значит, клеток $50-2-3=45$ ровно на девять пятиклеточных частей. При этом недостаточно разделить её на любые девять частей: их формы не должны повторяться даже после поворота или переворота.

Начинаем с правого края

Выделим вертикальную полоску из пяти клеток — часть $1$ Слева от неё поместим часть $2$ две клетки сверху и ещё три под правой из них. Эти части используют узкий правый участок, который иначе легко превратить в неудобный остаток.

Номера 1 и 2 — уже выделенные части. Белые клетки пока не разрезаны.

Достраиваем разрезание

Продолжаем по приведённой схеме. Одинаковый номер означает клетки одной части; толстые границы задают линии разреза. В каждой части ровно $5$ клеток, все клетки использованы один раз.

Один из возможных ответов. Цвет помогает чтению, номера различают части и без цвета.

Сравниваем формы отдельно

Все девять частей вынесены ниже. Их можно мысленно поворачивать и переворачивать: ни у одной пары не совпадают расположения всех пяти клеток. Особенно внимательно сравните части $6$ и $7$ обе имеют излом, но клетки возле его середины расположены по-разному. Для задачи на построение проверенная схема и есть доказательство существования.

Все части показаны с одинаковым размером клетки; перенос не изменяет форму.

Ответ

Подходит разрезание на схеме решения: девять различных частей по $5$ клеток.

Главная идея

В задаче на построение достаточно предъявить объект и отдельно проверить каждое требование.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если нужно разрезать фигуру на разные части, начинайте с узких участков и вырезов: там меньше свободы, чем в большой центральной области.

Возможная ошибка

Одинаковые части после поворота остаются одинаковыми. Проверять нужно форму, а не её положение на исходной фигуре.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 27 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Нужна школьная база

Площадь по клеткам
Поворот и зеркальное отражение фигуры

Приёмы решения: Дополнительное построение · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →