Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №4 — решение · финал

Условие

В лесу живут бельчата в разноцветных шапочках. Однажды $100$ бельчат встали в круг. Оказалось, что каждый бельчонок стоит рядом хотя бы с одним бельчонком в шапочке того же цвета. При этом $58$ бельчат стоят между двумя бельчатами в шапочках того же цвета. Какое наибольшее количество бельчат в красных шапочках могли иметь соседа не в красной шапочке?

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разбейте круг на максимальные подряд идущие одноцветные группы. Сколько «граничных» бельчат даёт каждая группа?

Подсказка 2

Бельчат с соседом другого цвета $100-58=42$ Каждая одноцветная группа содержит хотя бы двух бельчат и даёт ровно две границы.

Разобрать решение по шагам

Выделяем одноцветные группы

Соединим подряд стоящих бельчат одного цвета в группы. Группы не могут состоять из одного бельчонка: тогда у него не было бы соседа своего цвета. В группе из двух оба бельчонка граничные; в более длинной группе граничные только первый и последний.

Считаем группы

Бельчат с двумя соседями своего цвета ровно $58$ Остальные $100-58=42$ стоят на границах групп. Каждая группа даёт ровно двух таких бельчат, значит, групп $42:2=21$

Ограничиваем число красных групп

Две красные группы не могут соседствовать: иначе они были бы одной группой. Между красными группами по кругу нужны некрасные. Поэтому красных групп не больше $10$ для $11$ красных потребовалось бы хотя бы $11$ некрасных, а всего групп $21$ Каждая красная группа даёт двух нужных бельчат, значит, искомое число не больше $20$

Показываем, что двадцать достижимо

Возьмём $10$ красных групп по $2$ бельчонка и разделим их $10$ синими группами по $2$ Между последней синей и первой красной вставим зелёную группу из $60$ Всего $20\cdot2+60=100$ бельчат. Внутри зелёной группы ровно $60-2=58$ бельчат имеют двух соседей своего цвета, а все $20$ красных стоят на границах. Условия выполнены.

Каждый прямоугольник — целая одноцветная группа, число внутри — её размер. Читайте по строкам и замкните последовательность в круг.

Ответ

Максимум — $20$ бельчат.

Главная идея

Перейти от отдельных участников к одноцветным группам: каждая группа даёт ровно две границы.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если условия говорят о соседях одинакового цвета, полезно считать максимальные одноцветные отрезки, а не всех участников по отдельности.

Возможная ошибка

Нельзя взять $11$ красных групп в круге из $21$ группы: последняя и первая тоже соседствуют. В круге нет свободных концов.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 27, 28 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Разбиение на группы
Подсчёт граничных элементов

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →