Popov AcademyУсловие
Однажды за большим круглым столом собрались жителей уезда. Каждый из них либо купец, либо разбойник, либо торговец. Купцы всегда говорят правду, разбойники всегда лгут. Торговец говорит правду, если слева от него сидит разбойник; ложь, если слева от него сидит купец; всё, что угодно, если слева от него торговец. Каждый сказал: «Справа от меня сидит разбойник». Сколько всего разбойников?
О задаче · 6 класс · 20 баллов
Для подготовки: 6 класс.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Сначала предположите, что хотя бы один разбойник есть. Кто может сидеть справа от него и что этот сосед скажет?
Подсказка 2
После разбойника сидит не разбойник. Если это купец, он укажет на разбойника; если торговец, он тоже должен сказать правду. Отдельно проверьте, требует ли условие существования хотя бы одного разбойника.
Разобрать решение по шагам
Если есть хотя бы один разбойник
Он лжёт, поэтому справа от него сидит не разбойник. Это купец или торговец. Купец говорит правду. Торговец тоже говорит правду, поскольку слева от него разбойник. Значит, справа от этого соседа снова разбойник.
Продолжаем вокруг стола
Повторяя тот же вывод, получаем чередование: разбойник, не разбойник, разбойник, не разбойник. Так как за столом человек, разбойников .
Проверяем случай без разбойников
Буквально условие не требует наличия каждого типа жителей. Если все человек — торговцы, слева от каждого торговец, поэтому каждый может сказать что угодно. Все произносят ложную фразу про разбойника справа, и это разрешено. Значит, возможны и разбойников.
Проверяем достижимость второго ответа
Сорок разбойников можно чередовать с сорока купцами. У купца справа разбойник, он говорит правду; у разбойника справа купец, он лжёт. Поэтому оба найденных числа действительно допустимы при буквальном прочтении.
Ответ
При буквальном условии возможны или разбойников. Если дополнительно известно, что есть хотя бы один разбойник, ответ — .
Главная идея
Локальное правило может навязать чередование всему кругу, но запуск рассуждения требует хотя бы одного объекта нужного типа.
Как заметить эту идею в другой задаче
Если доказательство начинается словами «возьмём разбойника», отдельно проверьте, гарантировано ли существование разбойника условием.
Возможная ошибка
Фраза «каждый либо купец, либо разбойник, либо торговец» не означает, что за столом обязательно представлены все три типа.
Источник и примечания
Официальный источник
PDF организатора · страницы 13 · задача 5 ↗Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.
Официальное решение · страницы 28 ↗
Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.
Примечания к источнику
Официальный ответ также содержит оба случая: 0 и 40. В разборе явно объяснена возможность отсутствия разбойников.
Можете объяснить решение своими словами?
Тема, знания и приёмы
Высказывания и логические выводы · Нужна школьная база
- Истинность высказываний
- Чередование в круге
Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Контрпример