Бельчонок 2023/24 · Математика · 6 кл., №2 — решение · финал

Условие

Лена загадала двузначное число и сообщила своей подруге Маше, что это число делится на $2$ $3$ $5$ $10$ и $15$ Однако Маша узнала, что из этих пяти утверждений ровно два неверны. Какие числа могла загадать Лена?

О задаче · 6 класс · 20 баллов

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2023/24 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если число не делится на $5$ сколько из пяти утверждений сразу становятся ложными?

Подсказка 2

Число обязательно делится на $5$ Затем разделите случаи: оно чётное или нечётное.

Разобрать решение по шагам

Пятёрка обязательна

Если число не делится на $5$ оно также не делится на $10$ и на $15$ Это уже три неверные фразы. Значит, число делится на $5$

Чётные подходящие числа

Чётное число, делящееся на $5$ делится и на $10$ Уже верны три фразы: про $2$ $5$ и $10$ Остальные две должны быть ложными, поэтому число не делится на $3$ (и тогда не делится на $15$ ). Из двузначных кратных $10$ убираем $30$ $60$ $90$ Остаются $10$ $20$ $40$ $50$ $70$ $80$

Нечётные подходящие числа

Тогда фразы про $2$ и $10$ уже ложны. Все остальные должны быть истинны: число делится на $3$ $5$ и $15$ Нечётные двузначные кратные $15$ — это $15$ $45$ $75$

Объединяем и проверяем

Чётное и нечётное — все возможности, поэтому список полный. В первой строке верны ровно три признака, и во второй тоже.

Числа	Верные признаки	Неверные признаки
$10,20,40,50,70,80$	$2,5,10$	$3,15$
$15,45,75$	$3,5,15$	$2,10$

Ответ

$10,\ 15,\ 20,\ 40,\ 45,\ 50,\ 70,\ 75,\ 80$ .

Главная идея

Признаки делимости зависимы: ложность одного может сразу сделать ложными ещё несколько.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах про фиксированное количество правдивых утверждений ищите логические следствия: например, делимость на $10$ влечёт делимость на $2$ и $5$

Возможная ошибка

Не выбирайте произвольные три признака как независимые. Например, делимость на $15$ автоматически означает делимость на $3$ и $5$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2023/24 · математика · 6 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 26, 27 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Признаки делимости на 2, 3, 5
Кратные числа

Приёмы решения: Разбор случаев · Логический вывод и исключение вариантов

Задать вопрос по задаче →