Задача 9. Равные суммы квадратов

Почему n должно быть чётным

Чётность целого числа совпадает с чётностью его квадрата. Из $a^2+b^2=c^2+d^2$ следует, что $a+b$ и $c+d$ одной чётности. Поэтому их разность $n$ чётна. Это только необходимое условие; теперь нужно построить пример для каждого положительного чётного числа.

Подбираем конструкцию по разности квадратов

Пусть $n=2m$, где $m$ натурально. Хотим получить $b-d=3m$ и $c-a=m$: тогда $a+b-c-d=3m-m=2m$. Равенство квадратов равносильно $(c-a)(c+a)=(b-d)(b+d)$, то есть при таком выборе достаточно $c+a=3(b+d)$.

Записываем все четыре числа

Возьмём $M=10^{2026}+1$ и положим

Тогда $b-d=3m$, $c-a=m$, а $c+a=6M+9m=3(2M+3m)=3(b+d)$. Значит, равенство сумм квадратов выполнено.

Проверяем оставшиеся условия

Разность сумм равна

Все числа целые и не меньше $M>10^{2026}$. Число $m$ могло быть любым натуральным, поэтому построены примеры для всех положительных чётных $n$.