Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №6 — решение

Условие

Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как 1 : 2 : 3 :…: 11 : 12?

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Региональный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 2–3 февраля 2026

Нарисуй квадрат и предложи свой разрез на треугольники. Подпиши, какие площади ты хочешь получить и как будешь их проверять.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРаспредели площади

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя гипотеза

Распредели площади

Распредели метки площадей между двумя сторонами и проверь, согласован ли масштаб двух половин.

Попробуй провести лучи из одной вершины к двум противоположным сторонам. Как распределить двенадцать меток, чтобы части получались с одним масштабом площадей? Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.

Подсказка 1

Разрежь квадрат диагональю. Если делить противоположную вершине сторону, от чего зависят площади полученных треугольников?

Подсказка 2

Сумма чисел от 1 до 12 равна 78. Раздели их на две группы с суммой 39: одна группа задаст части одной стороны, другая — соседней.

Разобрать решение по шагам

Переводим площади в основания

Проведём диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ Получились два равных по площади треугольника. Разбивая сторону $BC$ на части и соединяя точки деления с $A$ получаем треугольники с общей высотой из $A$ Их площади относятся как длины оснований на $BC$ То же можно сделать со стороной $CD$

Делим нужные метки поровну

Сумма $1+2+\ldots+12=78$ поэтому на каждую половину отведём сумму меток $39$ Подойдут группы

1,2,3,10,11,12\quad\text{и}\quad4,5,6,7,8,9.

Действительно, $1+2+3+10+11+12=39$ и $4+5+6+7+8+9=39$

Проводим разрезы

Разделим $BC$ последовательно в отношениях $1:2:3:10:11:12$ а $CD$ — в отношениях $4:5:6:7:8:9$ Все точки деления соединим с $A$ Вместе с диагональю это даёт шесть треугольников в каждой половине, всего двенадцать. Все основания положительны, поэтому все треугольники невырождены.

Проверяем общий масштаб

Пусть площадь квадрата $S$ Каждая половина имеет площадь $S/2$ а её сумма меток равна $39$ Треугольник с меткой $k$ имеет площадь

\frac S2\cdot\frac k{39}=\frac{kS}{78}.

Поэтому площади всех двенадцати частей относятся как $1:2:3:\ldots:12$ что и требуется.

Проверка

Обе группы имеют сумму 39; каждая половина имеет площадьS/2. Поэтому площадь части с меткой k равна kS/78 в обеих половинах, а 12 частей покрывают квадрат без перекрытий.

Ответ

Проведи диагональ AC, раздели BC в отношении 1:2:3:10:11:12 и CD в отношении 4:5:6:7:8:9, соедини точки деления с A.

Ответ

Проведи диагональ AC, раздели BC в отношении 1:2:3:10:11:12 и CD в отношении 4:5:6:7:8:9, соедини точки деления с A.

Главная идея

Общая высота переводит нужные площади в длины отрезков на стороне; две половины квадрата должны иметь одинаковую сумму меток.

При общей высоте желаемые площади можно сначала заменить длинами оснований.

Где легко ошибиться

Разделить обе стороны пропорционально произвольным группам меток, забыв, что половины квадрата равновелики. Суммы меток в группах должны совпасть.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · региональный этап · второй день · 2–3 февраля 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 6, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Начальный вход

Площадь треугольника через основание и высоту
Диагональ квадрата

Приёмы решения: Сравнение площадей по основанию и высоте · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →