Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №3 — решение

Условие

В треугольнике $ABC$ точка $K$ — середина биссектрисы $BL$ Известно, что $AK=AL$ и $AK\perp BC$ Найдите величину угла $ABC$

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Региональный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 2–3 февраля 2026

Построй биссектрису, её середину K и отметь два разных равенства из условия. Не считай угол по измерению: нужно понять, почему он фиксирован.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проведи из A перпендикуляр к BC через K и обозначь половину угла B одной буквой.

Подсказка 2

Из AK=AL получи равные углы при K и L. Сначала докажи, что A — прямой угол, а затем используй середину гипотенузы BL.

Разобрать решение по шагам

Вводим только один угол

Пусть $\angle ABL=\angle LBC=\theta$ . Прямая $AK$ пересекает $BC$ в точке $H$ под прямым углом. Точка $K$ находится внутри треугольника, поэтому при движении от $A$ через $K$ попадаем на сторону $BC$ $K$ лежит между $A$ и $H$

Находим угол при A

В прямоугольном $BKH$ угол $BKH$ равен $90^\circ-\theta$ Вертикальный ему угол $AKL$ такой же. Из $AK=AL$ треугольник $AKL$ равнобедренный, значит $\angle ALK=\angle AKL=90^\circ-\theta$ . Лучи $LK$ и $LB$ совпадают, поэтому в $ABL$ углы при $B,L$ в сумме дают $90^\circ$ Следовательно, $\angle BAL=90^\circ$

Углы при K и L показывают, что угол A прямой.

Середина гипотенузы даёт новые равенства

Теперь $BL$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ABL$ а $K$ — её середина. Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин: $AK=BK=KL$ Вместе с данным $AK=AL$ получаем $AK=AL=KL$ Значит, треугольник $AKL$ равносторонний.

AK=AL из условия, AK=KL из свойства середины гипотенузы: AKL равносторонний.

Возвращаемся к искомому углу

Угол $ALB=ALK=60^\circ$ В прямоугольном треугольнике $ABL$ остаётся $\theta=30^\circ$ Биссектриса делит угол $ABC$ пополам, поэтому $\angle ABC=2\theta=60^\circ$ .

Проверка

После нахождения прямого угла равенство AK=KL следует из того, что K — середина гипотенузы BL; лишь затем вместе с AK=AL получается равносторонний треугольник.

Ответ

$\angle ABC=60^\circ$

Ответ

$\angle ABC=60^\circ$

Главная идея

Сначала обнаружь прямой угол, затем используй середину гипотенузы: она превращает ещё один треугольник в равносторонний.

Если середина отрезка не используется сразу, проверь, не станет ли этот отрезок гипотенузой после подсчёта углов.

Где легко ошибиться

Сразу объявить AKL равносторонним из AK=AL. Третье равенство появляется только после доказательства прямого угла и применения свойства гипотенузы.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · региональный этап · первый день · 2–3 февраля 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 3, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Продвинутая подготовка

Углы равнобедренного треугольника
Середина гипотенузы
Биссектриса

Приёмы решения: Дополнительное построение · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →