Popov AcademyУсловие
В каждом столбце таблицы записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
О задаче · 8 класс
Начни с любой клетки верхней строки и построй свой маршрут до нижней. Записывай, какие числа добавляются при каждом горизонтальном шаге.
Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеПострой путь к 2026
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Своя гипотеза
Построй путь к 2026
Построй свой путь по таблице: выбирай соседнюю клетку вправо или вниз и следи за суммой.
Начни с любой клетки верхней строки и построй свой маршрут до нижней. Записывай, какие числа добавляются при каждом горизонтальном шаге. Проверь свой вариант на бумаге; полный разбор остаётся ниже.
Подсказка 1
Сколько получается, если только спускаться вниз? Что добавляет один ход вправо в выбранной строке?
Подсказка 2
Вычти обязательную сумму из 2026 и разложи разность в сумму разных степеней двойки. Хватит ли ширины доски?
Разобрать решение по шагам
Начинаем с обязательной суммы
Возьмём старт в первой клетке верхней строки. При спуске без горизонтальных ходов посещаем по одной клетке каждой строки:
Каждый ход вправо добавляет ещё одно число той строки, где он сделан.
Разлагаем недостающую часть
Нужно добавить . Последовательно выделяя самые большие степени двойки, получаем
Это восемь слагаемых. Поэтому сделаем по одному ходу вправо в строках с этими числами.
Описываем весь маршрут
В строке 1 идём вправо, затем вниз; в строке 2 снова вправо, затем вниз. В строке 3 только вниз. Далее идём вправо в строках , а между строками — вниз. Строка 5 горизонтального шага не требует. Всего девять ходов вниз и восемь вправо, поэтому финиш — строка 10, столбец 9.
Проверяем все требования
Маршрут остаётся внутри таблицы : из первого столбца после восьми сдвигов получаем девятый. Все ходы направлены вправо или вниз, старт сверху, финиш снизу. Сумма равна . Одного такого примера достаточно.
Проверка
Восемь горизонтальных шагов добавляют 1003 к обязательным 1023; итог 2026. Девять спусков и восемь сдвигов приводят в клетку(10,9).
Подходит маршрут с одним ходом вправо в строках 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, стартуя из первого столбца.
Ответ
Подходит маршрут с одним ходом вправо в строках 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, стартуя из первого столбца.
Главная идея
Вертикальный спуск даёт обязательную сумму; горизонтальные шаги добавляют выбранные степени двойки.
Если маршрут содержит обязательные посещения, отдели их сумму от того, что добавляется по выбору.
Где легко ошибиться
Забыть начальную клетку или набрать нужную сумму, выйдя за десятый столбец. Проверять нужно и сумму, и сам маршрут.
Источник и авторство
Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · региональный этап · первый день · 2–3 февраля 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 1, 7 баллов.
Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗
Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.
Тема, знания и приёмы
Подсчёт вариантов · Начальный вход
- Степени двойки
- Сумма геометрической прогрессии в конкретном случае
Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Разрядная запись числа