Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №10 — решение

Условие

Дан треугольник ABC, в котором ∠B = 60°. На продолжении стороны AB за точку B отмечена точка D, а на стороне BC — точка E, причем AD = CE. На продолжении отрезка AE за точку E нашлась такая точка F, что AC = CF и DE = EF. Найдите величины углов треугольника DEF (укажите все возможные варианты).

Рисунок к условию

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Региональный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 2–3 февраля 2026

Перерисуй условие, отметь данные равенства и подпиши искомые углы. Запиши догадку, не добавляя на рисунок равенств, которых пока не доказал.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Построй равносторонний треугольник на AC. Его третья вершина может стать центром поворота на 60°, переводящего C в A.

Подсказка 2

Выбери направление этого поворота так же, как от BC к BA. Тогда отрезок CE перейдёт в AD. Затем сравни расстояния от F и новой вершины до C и E и проверь, по какую сторону BC находятся эти точки.

Разобрать решение по шагам

Почему важна сторона вспомогательного построения

Так как D находится за B, $AD>AB$ Так как E лежит на стороне BC и $CE=AD$ получаем $BC>AB$ Напротив большей стороны лежит больший угол, поэтому $\angle A>\angle C$ Их сумма равна $120^\circ$ откуда $\angle C<60^\circ$ Обозначим его $\gamma$

Строим центр поворота

Расположим BC горизонтально: B слева, C справа, A сверху. Для этого можно повернуть и при необходимости отразить весь рисунок — длины и углы не изменятся. Повернём луч CA против часовой стрелки на 60° и отложим на новом луче CK=CA. Получится равносторонний треугольник ACK: две стороны равны и угол между ними равен 60°. Поворот вокруг K против часовой стрелки на 60° переводит C в A. Поворот сохраняет длины и поворачивает все отрезки на один и тот же угол.

Куда перейдёт E

Направление CE совпадает с направлением CB, а направление AD — с AB: оба отрезка направлены к B. Поэтому при выбранном повороте на 60° направление CE станет направлением AD. Точка C уже переходит в A. Образ E лежит на луче AD на расстоянии CE от A. Но $CE=AD$ поэтому этот образ — ровно D. Следовательно, $KE=KD$ а угол между KE и KD равен 60°. Значит, треугольник DKE равносторонний и $EK=DE$

Поворот C→A и E→D вокруг K. На этом рисунке AE наклонён к BC; прямой угол не задан.

С какой стороны BC лежат K и F

У C луч CA находится на угол γ выше луча CB. Здесь 0<γ<60°. После поворота луча CA против часовой стрелки на 60° полученный луч CK отклоняется вниз от CB на 60°−γ. Поэтому K лежит ниже BC. Прямая AE пересекает BC в E, а F находится за E на луче AE; значит, F тоже ниже BC. Точки K и F находятся по одну сторону BC.

Почему F совпадает с K

По условию $CF=AC$ и $EF=DE$ По построению $CK=AC$ а мы уже доказали $EK=DE$ Поэтому C и E равноудалены от F и K. Если бы $F\ne K$ обе точки C и E лежали бы на серединном перпендикуляре к FK. Тогда прямая CE, то есть BC, разделяла бы F и K. Но они находятся по одну сторону BC. Противоречие: $F=K$ Следовательно, DEF — найденный равносторонний треугольник. Если бы E совпала с B, точки D,E,F лежали бы на одной прямой AB. Но доказанное F=K даёт невырожденный равносторонний DKE. Значит, случай E=B невозможен.

Только после доказательства двух расстояний и положения относительно BC получаем F=K. AE не обязана быть перпендикулярна BC.

Проверяем существование

Например, можно взять $AB=2$ $BD=BE=1$ $BC=4$ и угол B, равный 60°. Треугольник ABE — половина равностороннего, поэтому AE перпендикулярен BC. По теореме Пифагора получаем $AD=CE=3$ $AE=DE=\sqrt3$ Продолжим AE за E на $EF=\sqrt3$ В этой конфигурации $AC=CF=2\sqrt3$ так что все исходные условия выполнены. В предыдущих шагах доказана необходимость, а этот пример доказывает существование. Других наборов углов нет. Здесь перпендикулярность AE и BC — особенность выбранного примера для проверки существования; в общем случае её нет, как видно на рисунках выше.

Проверка

Направление поворота определено исходным угломB; образы C→A и E→D установлены без вычитания углов по типичному рисунку. Положение K и F относительно BC проверено. Существование подтверждено отдельным точным примером.

Ответ

$\angle D=\angle E=\angle F=60^\circ$ ; других вариантов нет.

Ответ

$\angle D=\angle E=\angle F=60^\circ$ ; других вариантов нет.

Главная идея

Поворот одновременно использует угол 60° и равенство AD=CE. После него два расстояния и правильная полуплоскость определяют точку F.

Где легко ошибиться

Совпадение двух расстояний ещё не гарантирует совпадение точек: возможны отражённые точки относительно линии центров. Поэтому положение относительно BC проверяется отдельно.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · региональный этап · второй день · 2–3 февраля 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 10, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Поворот сохраняет длины и углы
Равнобедренный треугольник с углом 60° равносторонний
Серединный перпендикуляр и равные расстояния

Приёмы решения: Поворот плоскости · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →