Эйлер 2026 · Математика · 8 кл., №2 — решение

Условие

Числа $a$ $b$ $c$ таковы, что $a^2+b^2>(a+b)^2$ и $b^2+c^2>(b+c)^2$ Что больше: $a^4+c^4$ или $(a+c)^4$

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Олимпиада имени Леонарда Эйлера, XVIII олимпиада
Этап: Региональный этап
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 2–3 февраля 2026

Подбери несколько троек, удовлетворяющих обоим данным неравенствам, и сравни два выражения. Запиши свой вывод и подумай, достаточно ли примеров для доказательства.

Здесь нужен обоснованный словесный ответ. Запиши свой вывод и доводы до открытия помощи.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Раскрой квадраты в двух данных неравенствах и сократи одинаковые слагаемые.

Подсказка 2

Определи знак ac, затем раскрой разность $(a+c)^4-a^4-c^4$ и вынеси ac.

Разобрать решение по шагам

Убираем одинаковые квадраты

Первое условие означает

a^2+b^2>a^2+2ab+b^2,

откуда $ab<0$ Аналогично из второго получаем $bc<0$ Строгость важна: ни одно из чисел $a,b,c$ не равно нулю.

Находим нужный знак

Число $a$ имеет знак, противоположный знаку $b$ и $c$ тоже. Значит, $a$ и $c$ одного знака и $ac>0$ Это верно и для двух положительных, и для двух отрицательных чисел.

Сравниваем выражения

Раскроем скобки и сгруппируем:

(a+c)^4-a^4-c^4=4a^3c+6a^2c^2+4ac^3=2ac(2a^2+3ac+2c^2).

Множитель $2ac$ положителен, а в скобках положительные слагаемые. Поэтому разность строго положительна.

Проверка

Оба знаковых случая охвачены: a,c одного знака, ac>0. Равенство исключено, потому что условия не допускают нулей.

Ответ

Строго больше $(a+c)^4$

Ответ

Строго больше $(a+c)^4$

Главная идея

Условия скрывают знаки произведений; после раскрытия четвёртой степени все дополнительные слагаемые положительны.

Условие с квадратом суммы часто сначала стоит превратить в информацию о знаках произведений.

Где легко ошибиться

Решить, что a и c обязательно положительны. Они могут оба быть отрицательными; важно именно ac>0.

Источник и авторство

Олимпиада имени Леонарда Эйлера · XVIII олимпиада, сезон 2025/26 · региональный этап · первый день · 2–3 февраля 2026 · математика · 8 класс. Официальная задача 2, 7 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Решения организатора, день 1 ↗ · Решения организатора, день 2 ↗ · Архив олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Авторский разбор Popov Academy.

Продолжить тему: Неравенства и экстремумы →

Тема, знания и приёмы

Неравенства и экстремумы · Начальный вход

Раскрытие квадрата суммы
Знаки произведений
Разложение разности четвёртых степеней

Приёмы решения: Разложение на множители · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →