Задача 5. Три делителя

Предположим, что пример существует

Пусть $a,b,c>1$ — делители $n$ и $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$. Если простой $p$ делит одновременно $a,b,c$, то каждое из $a-1,b-1,c-1$ даёт остаток $-1$ при делении на $p$. Их произведение не делится на $p$, хотя $n^2$ делится. Противоречие. Значит, общего простого множителя у трёх делителей нет.

Оцениваем произведение делителей

Рассмотрим любой простой $p$, входящий в $n$ в степени $e$. В каждом делителе показатель этого простого не больше $e$. Хотя бы в одном из $a,b,c$ он равен нулю, иначе $p$ был бы общим. Поэтому в $abc$ показатель не больше $2e$. Это верно для каждого простого из разложения $n$, значит $abc$ делит $n^2$ и $abc\le n^2$.

Получаем невозможную величину

Так как $a,b,c>1$, все три скобки положительны и каждая строго меньше соответствующего числа. Поэтому

Положительное целое число меньше $n^2$ не может делиться на $n^2$. Это и есть противоречие.