Когда выражение натурально

Отделяем положительность

Выражение равно

При натуральном $n$ множитель $n+6$ положителен. Поэтому всё выражение положительно ровно при $n<10$, то есть при $n=1,\ldots,9$.

Проверяем целочисленность

Например, при $n=1$ числитель делится на $3$, а при $n=2$ нет. В общем случае $-n^2+4n+60$ имеет тот же остаток, что $n(1-n)$. Проверим все три остатка $n$.

Считаем

Среди чисел от $1$ до $9$ исключаются $2,5,8$. Остаются $1,3,4,6,7,9$ — всего $6$ значений. Число $n=10$ не подходит: значение выражения равно нулю, а натуральные числа здесь начинаются с $1$.