Биссектриса, высота и медиана

Используем середину гипотенузы

Раз $CM$ — медиана, $M$ — середина $AB$. Высота $BH$ перпендикулярна $AC$, поэтому в прямоугольном треугольнике $ABH$ точка $M$ равноудалена от $A$, $B$ и $H$:

Если $H=A$, то это равенство также верно, ведь $M$ — середина $AB$. Значит, $AB=20$. По условию $ML=10$, поэтому $A$, $B$, $H$ и $L$ лежат на окружности с центром $M$. Отрезок $AB$ — её диаметр, а угол $ALB$, опирающийся на диаметр, прямой.

Биссектриса оказывается высотой

Точка $L$ лежит на $BC$, поэтому из $\angle ALB=90^\circ$ следует $AL\perp BC$. Прямоугольные треугольники $ABL$ и $ACL$ равны: у них общий катет $AL$ и равные прилежащие к нему углы $BAL$ и $LAC$, потому что $AL$ — биссектриса. Следовательно, $AB=AC=20$ и $BL=LC$. Итак, $ABC$ равнобедренный, а $L$ — середина $BC$.

Переносим известный угол к стороне AB

В прямоугольном треугольнике $BHC$ точка $L$ — середина гипотенузы $BC$, поэтому $LH=LB=LC$. Теперь сравним треугольники $MLH$ и $MLB$: сторона $ML$ общая, $MH=MB$ по первому шагу, а $LH=LB$. Треугольники равны по трём сторонам. Значит,

Так мы связали данный угол с направлением стороны $AB$.

Находим обе высоты

Точки $M$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $ML$ — средняя линия треугольника $ABC$ и $ML\parallel AC$. Луч $MB$ направлен так же, как $AB$, а луч $ML$ — так же, как $AC$. Поэтому $\angle BAC=\angle BML=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ лежит напротив угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы:

Обозначим высоту из $C$ через $CK$. Вычисляя площадь $ABC$ по основаниям $AC$ и $AB$, получаем $\frac12 AC\cdot BH=\frac12 AB\cdot CK$. Поскольку $AB=AC$, имеем $CK=BH=10$. Сумма высот равна $10+10=20$.