Бельчонок 2025/26 · Математика · 8 кл., №1 — решение · финал

Условие

Семь девочек играли в шахматы. Все девочки сыграли одинаковое число партий. Любая пара девочек сыграла между собой не больше одной партии. Сколько партий могла сыграть каждая девочка, если известно, что Маша играла с Ниной, Катей и Светой, Лена с Женей и Аней, а Женя не играла с Катей?

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Если сложить число партий у всех девочек, сколько раз будет учтена каждая партия?

Подсказка 2

Проверьте не только необходимость ответа, но и возможность: удобно перечислить пары, которые не играли.

Разобрать решение по шагам

Чётность общего числа участий

Пусть каждая девочка сыграла $d$ партий. Тогда всего участий $7d$ Каждая партия даёт два участия, поэтому $7d$ чётно, а значит $d$ чётно.

Ограничиваем число партий

Маша сыграла хотя бы $3$ партии, поэтому $d\ge3$ У каждой девочки не больше $6$ соперниц. Но Женя не играла с Катей, так что $d\ne6$ Единственное чётное число от $3$ до $5$ — $4$

Строим допустимый турнир

Расположим имена по кругу: Маша — Лена — Нина — Катя — Женя — Света — Аня — Маша. Пусть соседние в этом круге пары не играли, а все остальные пары сыграли. У каждой девочки ровно две пары без игры из шести возможных, значит она сыграла $4$ партии. Все пары из условия проверяются по таблице.

Условие	Проверка
Маша с Ниной, Катей, Светой	Ни одна из этих девочек не соседствует с Машей
Лена с Женей и Аней	Обе не соседствуют с Леной
Женя не играла с Катей	Они соседствуют

Ответ

Каждая сыграла $4$ партии.

Главная идея

Чётность суммы степеней даёт необходимое ограничение; граф отсутствующих партий доказывает достижимость.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если у нечётного числа участников одинаковое число парных встреч, оно должно быть чётным.

Возможная ошибка

Одного исключения других чисел недостаточно: нужно показать, что оставшийся вариант реализуется.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 39 · задача 1 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 39 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Графы →

Тема, знания и приёмы

Графы · Нужна школьная база

Чётность
Двойной подсчёт

Приёмы решения: Граф и степени вершин · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →