Бельчонок

Семь девочек играли в шахматы. Все девочки сыграли одинаковое число партий. Любая пара девочек сыграла между собой не больше одной партии. Сколько партий могла сыграть каждая девочка, если известно, что Маша играла с Ниной, Катей и Светой, Лена с Женей и Аней, а Женя не играла с Катей?

Найдите количество натуральных чисел $n$, для которых значение $-\frac13n^2+\frac43n+20$ тоже является натуральным числом.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, высота $BH$ и медиана $CM$. Оказалось, что в треугольнике $MLH$ выполнено $ML=MH=10$, а также $\angle LMH=30^\circ$. Найдите сумму длин высот треугольника $ABC$, опущенных из вершин $B$ и $C$.

У Влада есть несколько монеток. Он заметил, что как бы он ни положил все монетки в клетки доски $8\times10$ (в каждую клетку не более одной монетки), обязательно найдётся прямоугольник $1\times3$ или $3\times1$, во всех клетках которого лежат монетки. Какое наименьшее количество монеток может быть у Влада?

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $a^2+b^2+c^2=3$. Докажите неравенство