Три дроби с условием на квадраты

Ограничиваем сумму чисел

Из неотрицательности квадратов следует

потому что $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$. Поэтому

Все числа положительны, значит $a+b+c\le3$.

Подбираем удобную оценку одной дроби

Чтобы использовать найденную границу для $a+b+c$, ищем верхнюю оценку вида $px+q$. При $x=1$ должно быть равенство, поэтому $p+q=\frac16$. В разности $px+q-\frac{x}{x+5}$ числитель равен $px^2+(5p+q-1)x+5q$. Хотим получить $p(x-1)^2$: тогда неотрицательность видна сразу. Постоянные члены дают $5q=p$; вместе с $p+q=\frac16$ это даёт $p=\frac5{36}$, $q=\frac1{36}$. Проверим все коэффициенты одним вычислением:

Знаменатель положителен, а числитель — квадрат с положительным множителем.

Складываем три оценки

Подставив $x=a,b,c$ и сложив, получаем

Равенство достигается при $a=b=c=1$; эта тройка удовлетворяет исходному условию.