Бельчонок 2025/26 · Математика · 8 кл., №4 — решение · финал

Условие

У Влада есть несколько монеток. Он заметил, что как бы он ни положил все монетки в клетки доски $8\times10$ (в каждую клетку не более одной монетки), обязательно найдётся прямоугольник $1\times3$ или $3\times1$ во всех клетках которого лежат монетки. Какое наименьшее количество монеток может быть у Влада?

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Для гарантии найдите много непересекающихся троек клеток.

Подсказка 2

Для примера без тройки попробуйте периодический узор: в каждых трёх соседних клетках одна пустая.

Разобрать решение по шагам

Почему 55 монет уже достаточно

В каждой из $8$ строк разделим первые $9$ клеток на три горизонтальные тройки: получим $24$ непересекающихся прямоугольника. В последнем столбце возьмём ещё две вертикальные тройки. Всего $26$ троек; две клетки остались вне них. Если нигде нет трёх монет подряд, в каждой из этих $26$ троек есть пустая клетка. Поэтому пустых клеток не меньше $26$ а монет не больше $80-26=54$ Следовательно, $55$ монет гарантируют нужную тройку.

26

непересекающихся троек; две нижние клетки последнего столбца не используются.

Почему 54 монет может быть недостаточно

Пронумеруем строки $i=0,\ldots,7$ столбцы $j=0,\ldots,9$ Оставим пустыми клетки с остатком $2$ у суммы $i+j$ при делении на $3$ в остальные положим монеты. В любых трёх соседних клетках строки или столбца суммы дают три разных остатка, значит одна клетка пустая. Количества пустых клеток по строкам: $3,3,4,3,3,4,3,3$ всего $26$ Монет ровно $54$ и нужной тройки нет.

Пример с

54

монетами: каждая горизонтальная и вертикальная тройка содержит пустую клетку.

Ответ

$55$ монет.

Главная идея

Экстремальный ответ требует границы и примера, достигающего её.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах «при любом размещении» сначала оцените максимально возможное размещение без требуемой фигуры.

Возможная ошибка

Пример с $54$ монетами даёт только нижнюю границу для гарантии; необходима отдельная проверка всех размещений $55$ монет.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 41 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 41 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Гарантии и принцип Дирихле →

Тема, знания и приёмы

Гарантии и принцип Дирихле · Нужна школьная база

Разбиение на непересекающиеся группы
Остатки по модулю 3

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Раскраска

Задать вопрос по задаче →