Математика · 2025/26 · Заключительный этап

Угол между равносторонними треугольниками

Условие

В прямоугольнике ABCDABCD сторона AB=3AB=3, BC=4BC=4 (см. рисунок). BE=ABBE=AB, DF=ADDF=AD, треугольники BNEBNE и DFKDFK — равносторонние. Найдите величину угла CKNCKN.

К условию
Геометрическая схемаABCDENFK
О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены
Олимпиада
Бельчонок
Предмет / класс
Математика · 7 класс
Сезон / этап
2025/26 · Заключительный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 5
Официальные баллыНе подтверждены
Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Построение по шагам

Переключайте состояния; исходные данные остаются неизменными.

1. Исходная фигура

EE лежит на продолжении ABAB за BB, FF — на продолжении ADAD за DD; положение вершин N,KN,K взято из источника.

К этому шагу
Геометрическая схемаABCDENFK
Только данные исходного рисунка.

2. Равные треугольники

Проведём CNCN и CKCK. Имеем CB=DK=4CB=DK=4 и BN=DC=3BN=DC=3. По исходному расположению равносторонних треугольников

∠CBN=90∘+60∘=150∘,∠KDC=150∘.\angle CBN=90^\circ+60^\circ=150^\circ,\qquad\angle KDC=150^\circ.

Поэтому △CBN=△KDC\triangle CBN=\triangle KDC по двум сторонам и углу между ними. Значит CN=CKCN=CK и ∠BCN=∠DKC\angle BCN=\angle DKC.

К этому шагу
Геометрическая схемаABCDENFK
Сравниваются треугольники CBNCBN и KDCKDC; проведены только необходимые отрезки CNCN и CKCK.

3. Треугольник с углом 120°

Обозначим α=∠BCN=∠DKC\alpha=\angle BCN=\angle DKC, β=∠DCK\beta=\angle DCK. В треугольнике DCKDCK угол при DD равен 150∘150^\circ, поэтому α+β=30∘\alpha+\beta=30^\circ. На рисунке лучи CBCB и CDCD лежат внутри угла NCKNCK, откуда

∠NCK=α+90∘+β=120∘.\angle NCK=\alpha+90^\circ+\beta=120^\circ.

Так как CN=CKCN=CK, углы при основании NKNK равны:

∠CKN=180∘−120∘2=30∘.\angle CKN=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.
К этому шагу
Геометрическая схемаABCDENFK
CN=CKCN=CK, угол при CC равен 120∘120^\circ.

Все состояния используют одну геометрическую модель. Рисунок помогает следить за доказательством; равенства обосновываются в тексте.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Соедините вершину прямоугольника CC с вершинами NN и KK. Какие два треугольника можно сравнить?

Подсказка 2

У треугольников CBNCBN и KDCKDC совпадают две стороны и угол между ними.

Разобрать решение по шагам
01

Находим равные треугольники

Проведём CNCN и CKCK. Имеем CB=DK=4CB=DK=4 и BN=DC=3BN=DC=3. По исходному расположению равносторонних треугольников

∠CBN=90∘+60∘=150∘,∠KDC=150∘.\angle CBN=90^\circ+60^\circ=150^\circ,\qquad\angle KDC=150^\circ.

Поэтому △CBN=△KDC\triangle CBN=\triangle KDC по двум сторонам и углу между ними. Значит CN=CKCN=CK и ∠BCN=∠DKC\angle BCN=\angle DKC.

К этому шагу
Геометрическая схемаABCDENFK
Сравниваются треугольники CBNCBN и KDCKDC; проведены только необходимые отрезки CNCN и CKCK.
02

Находим угол при вершине равнобедренного треугольника

Обозначим α=∠BCN=∠DKC\alpha=\angle BCN=\angle DKC, β=∠DCK\beta=\angle DCK. В треугольнике DCKDCK угол при DD равен 150∘150^\circ, поэтому α+β=30∘\alpha+\beta=30^\circ. На рисунке лучи CBCB и CDCD лежат внутри угла NCKNCK, откуда

∠NCK=α+90∘+β=120∘.\angle NCK=\alpha+90^\circ+\beta=120^\circ.
03

Вычисляем угол при основании

Так как CN=CKCN=CK, углы при основании NKNK равны:

∠CKN=180∘−120∘2=30∘.\angle CKN=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

30∘30^\circ.

Главная идея

Равенство двух вспомогательных треугольников превращает искомую фигуру в равнобедренный треугольник.

Как заметить эту идею в другой задаче

При равносторонних треугольниках на сторонах прямоугольника ищите равные пары сторон и углы 150∘150^\circ.

Возможная ошибка

Угол CBNCBN равен 150∘150^\circ, а не 60∘60^\circ: один из его лучей принадлежит прямоугольнику.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 33 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 33 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Продолжить тему: Треугольники и углы →
Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

  • Равенство треугольников по двум сторонам и углу
  • Углы равнобедренного треугольника

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема