Бельчонок 2024/25 · Математика · 7 кл., №4 — решение · финал

Условие

В остроугольном треугольнике $KLM$ проведена высота $LH$ Оказалось, что $KL=HM$ Вне треугольника отмечена точка $P$ так, что $\angle LPM=\angle LMP$ и $\angle KLP=\angle KML$ Докажите, что $KP\perp KL$

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Построение по шагам

Переключайте состояния; исходные данные остаются неизменными.

1. Исходная конфигурация

Высота $LH$ и точки из условия. Отрезок $KP$ ещё не проведён.

Геометрия удовлетворяет всем условиям; численные координаты на рисунок не вынесены.

2. Сравниваем треугольники

В треугольнике $LPM$ углы при $P$ и $M$ равны, поэтому противоположные им стороны равны: $LP=LM$ Так как $H$ лежит на стороне $KM$ угол $KML$ равен $HML$ Следовательно, у треугольников $KLP$ и $HML$ равны две стороны и угол между ними:

KL=HM,\qquad LP=ML,\qquad\angle KLP=\angle HML.

Значит треугольники равны по первому признаку.

Соответствие вершин:

K\leftrightarrow H

L\leftrightarrow M

P\leftrightarrow L

3. Прямой угол

Угол $LKP$ соответствует углу $MHL$ Поскольку $LH$ — высота, $\angle MHL=90^\circ$ Поэтому $\angle LKP=90^\circ$ то есть $KP\perp KL$

Равенство треугольников даёт

\angle LKP=\angle MHL=90^\circ

Все состояния используют одну геометрическую модель. Рисунок помогает следить за доказательством; равенства обосновываются в тексте.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Какое равенство сторон следует из равенства углов в треугольнике $LPM$

Подсказка 2

Сравните треугольник $KLP$ с прямоугольным треугольником $HML$

Разобрать решение по шагам

Получаем ещё одну пару равных сторон

В треугольнике $LPM$ углы при $P$ и $M$ равны, поэтому противоположные им стороны равны: $LP=LM$

Сравниваем два треугольника

Так как $H$ лежит на стороне $KM$ угол $KML$ равен $HML$ Следовательно, у треугольников $KLP$ и $HML$ равны две стороны и угол между ними:

KL=HM,\qquad LP=ML,\qquad\angle KLP=\angle HML.

Значит треугольники равны по первому признаку.

Соответствие вершин:

K\leftrightarrow H

L\leftrightarrow M

P\leftrightarrow L

Переносим прямой угол

Угол $LKP$ соответствует углу $MHL$ Поскольку $LH$ — высота, $\angle MHL=90^\circ$ Поэтому $\angle LKP=90^\circ$ то есть $KP\perp KL$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$KP\perp KL$ что и требовалось доказать.

Главная идея

Два данных равенства углов создают равенство треугольников, которое переносит прямой угол.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если требуется перпендикулярность, ищите равный треугольник с уже известным прямым углом.

Возможная ошибка

Из равенства углов при $P$ и $M$ следует $LP=LM$ а не $LP=PM$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 36 · задача 4 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 36, 37 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Угол между равносторонними треугольниками →

Бельчонок · № 5

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Равнобедренный треугольник
Первый признак равенства треугольников
Высота

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →