Математика · 2024/25 · Заключительный этап

Четыре цифры в таблице

Условие

В клетках таблицы 2×22\times2 записаны четыре различные ненулевые цифры. Софья прочитала слева направо два двузначных числа в строках, сложила их и получила 6161. Ульяна же прочитала сверху вниз два двузначных числа в столбцах, сложила их и получила 133133. Какие цифры написаны в таблице?

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены
Олимпиада
Бельчонок
Предмет / класс
Математика · 7 класс
Сезон / этап
2024/25 · Заключительный этап
Комплект
Вариант 1 · задача 2
Официальные баллыНе подтверждены
Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте верхнюю строку a,ba,b, нижнюю — c,dc,d и отдельно запишите суммы десятков и единиц.

Подсказка 2

Используйте границы для суммы двух разных ненулевых цифр: от 33 до 1717.

Разобрать решение по шагам
01

Переводим чтение чисел в уравнения

Пусть таблица имеет вид abcd\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}. Тогда

10(a+c)+(b+d)=61,10(a+b)+(c+d)=133.10(a+c)+(b+d)=61,\qquad10(a+b)+(c+d)=133.

Каждая сумма двух различных ненулевых цифр лежит от 33 до 1717. В первом равенстве поэтому a+c=5a+c=5, b+d=11b+d=11; во втором a+b=13a+b=13, c+d=3c+d=3.

02

Находим единственное значение

Выразим цифры через aa:

b=13−a,c=5−a,d=a−2.b=13-a,\qquad c=5-a,\qquad d=a-2.

Из b≤9b\le9 получаем a≥4a\ge4, а из c≥1c\ge1 — a≤4a\le4. Таким образом, a=4a=4; тогда b=9,c=1,d=2b=9,c=1,d=2.

03

Проверяем обе суммы

Полученная таблица —

4912.\begin{matrix}4&9\\1&2\end{matrix}.

Все цифры различны и ненулевые. Строки дают 49+12=6149+12=61, столбцы — 41+92=13341+92=133.

Ответ

4912\begin{matrix}4&9\\1&2\end{matrix}.

Главная идея

Разрядная запись и границы суммы цифр превращают задачу в короткую систему.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда числа читаются по строкам и столбцам, обозначайте клетки, а не сами двузначные числа.

Возможная ошибка

Нужно проверить обе исходные суммы: ошибка при выделении десятков может дать красивую, но неподходящую таблицу.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 35 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 35, 36 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Продолжить тему: Десятичная запись →
Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Нужна школьная база

  • Разрядная запись
  • Линейные уравнения

Приёмы решения: Разрядная запись числа · Оценка и достижимость · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →
Учебная схема