Бельчонок 2024/25 · Математика · 7 кл., №3 — решение · финал

Условие

На турнир по армрестлингу в одном зале собрались $100$ спортсменов, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. После первого дня из турнира вылетели $60$ спортсменов, которые по одному выходили с соревновательной площадки. Покидая зал, каждый заявил корреспонденту: «Среди оставшихся там спортсменов правдивых меньше, чем лжецов». Сколько всего лжецов могло быть среди участников соревнования? Укажите все возможные варианты.

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Что произойдёт, если вначале лжецов строго больше половины? Кто тогда может выйти первым?

Подсказка 2

Не забудьте случай равных количеств и пример подходящей последовательности выходов.

Разобрать решение по шагам

Лжецов не может быть больше 50

Если лжецов хотя бы $51$ рыцарей не больше $49$ Лжец выйти не может: после его выхода лжецов всё ещё не меньше $50$ то есть больше, чем рыцарей, и его фраза была бы правдой. Значит выйти может только рыцарь. После его выхода перевес лжецов увеличивается, и далее опять могут выходить только рыцари. Но их меньше $60$ — противоречие.

Лжецов не может быть меньше 50

Если лжецов не больше $49$ рыцарей хотя бы $51$ Рыцарь выйти не может: после его выхода рыцарей остаётся хотя бы $50$ то есть больше лжецов, и фраза была бы ложной. Поэтому выходят только лжецы; после каждого такого выхода перевес рыцарей растёт. Лжецов меньше $60$ — снова противоречие.

Проверяем 50 лжецов

Пусть вначале по $50$ рыцарей и лжецов. Пусть выходит рыцарь, затем лжец, и эта пара повторяется $30$ раз. После выхода рыцаря рыцарей на одного меньше, чем лжецов: фраза истинна. После выхода лжеца количества равны: фраза «рыцарей меньше» ложна. После $60$ выходов остаётся по $20$ человек каждого типа. Значит вариант возможен.

Ответ

Ровно $50$ лжецов.

Главная идея

Строгий первоначальный перевес разрешает выходить только меньшинству и усиливается; равенство допускает чередование.

Как заметить эту идею в другой задаче

Для последовательных заявлений пересчитывайте состав после ухода говорящего.

Возможная ошибка

Слова «среди оставшихся» исключают самого выходящего; при равенстве количеств фраза ложна.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 36 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 36 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Высказывания и логические выводы →

Тема, знания и приёмы

Высказывания и логические выводы · Нужна школьная база

Строгое неравенство
Правдивые и ложные высказывания

Приёмы решения: Разбор случаев · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →