Бельчонок 2025/26 · Математика · 7 кл., №3 — решение · финал

Условие

Сколько существует натуральных чисел, произведение цифр которых равно $72$ причём ни одна цифра не равна ни $1$ ни $8$ ни $9$

О задаче · 7 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разложите $72$ на простые множители и выпишите разрешённые цифры.

Подсказка 2

Сначала перечислите наборы цифр, а затем посчитайте перестановки каждого набора.

Разобрать решение по шагам

Оставляем возможные цифры

$72=2^3\cdot3^2$ Ноль дал бы нулевое произведение; цифры $5$ и $7$ внесли бы лишний простой множитель. После запрета $1,8,9$ остаются только $2,3,4,6$

Перечисляем наборы без пропусков

Пусть цифра $6$ встречается $j$ раз, цифра $4$ — $k$ раз. Тогда двоек $3-j-2k$ а троек $2-j$ Все эти количества неотрицательны. Поэтому $j=0,1,2$ а при каждом $j$ остаются следующие наборы.

$j$	$k$	Набор цифр	Число порядков
$0$	$0$	$2,2,2,3,3$	$10$
$0$	$1$	$2,3,3,4$	$12$
$1$	$0$	$2,2,3,6$	$12$
$1$	$1$	$3,4,6$	$6$
$2$	$0$	$2,6,6$	$3$

Считаем различные записи

В первом наборе выбираем две позиции троек: $\frac{5\cdot4}{2}=10$ Делим на $2$ потому что перестановка двух троек не меняет выбранную пару мест. В наборах из четырёх цифр одна пара повторяется (две тройки либо две двойки), и её перестановка тоже не меняет число; поэтому порядков $\frac{4\cdot3\cdot2}{2}=12$ . Три разные цифры дают $3\cdot2=6$ а одинокая двойка среди двух шестёрок имеет $3$ позиции. Итого

10+12+12+6+3=43.

Ответ

$43$ числа.

Главная идея

Разделяем выбор набора цифр и выбор порядка, отдельно учитывая совпадающие цифры.

Как заметить эту идею в другой задаче

У фиксированного произведения удобно распределять степени простых множителей между цифрами.

Возможная ошибка

Перестановки одинаковых цифр не создают новое число; деление на число таких повторов обязательно.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 32 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2025/26 · математика · 7 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 32 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Простое разложение
Правило умножения
Подсчёт с повторениями

Приёмы решения: Разложение на множители · Разбор случаев · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →