Плитки для прямоугольника и квадрата

Вводим целые размеры

Пусть короткая сторона прямоугольника $x>1$, а сторона квадрата $y$; оба числа натуральные. Тогда

Число $8$ — именно остаток плиток после сборки квадрата.

Переходим к произведению

Чтобы выделить квадрат без дробей, используем $(2x+11)^2=4x^2+44x+121$. Поэтому умножим равенство $x^2+11x-y^2=8$ на $4$ и прибавим $121$; справа получится $32+121=153$:

Следовательно,

Оба множителя положительны: второй положителен, а произведение положительно. Первый не больше второго.

Перебираем все пары делителей

Так как $153=3^2\cdot17$, все положительные пары делителей с первым не больше второго перечислены в таблице. Если множители $u,v$, то $x=\frac{u+v-22}{4}$, $y=\frac{v-u}{4}$.

Проверяем два ответа

$1452=33\cdot44=38^2+8$ и $152=8\cdot19=12^2+8$. В обоих случаях разность сторон прямоугольника равна $11$, короткая сторона больше $1$, остаток от квадрата равен $8$.