Бельчонок 2024/25 · Математика · 8 кл., №5 — решение · финал

Условие

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ равна $12$ и разделена точками $E$ и $F$ на три равные части. Прямые $DE$ и $DF$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ соответственно в точках $K$ и $L$ Найдите длину $KL$

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Построение по шагам

Переключайте состояния; исходные данные остаются неизменными.

1. Исходные линии

Положение $E$ ближе к $A$ а $F$ ближе к $C$ соответствует пересечению именно сторон $AB$ и $BC$

Только исходные прямые и точки; отрезок

KL

ещё не проведён.

2. Первое подобие

По рисунку $AE=EF=FC=4$ Треугольники $AEK$ и $CED$ подобны: углы при $E$ вертикальные, а $AK\parallel CD$ Поэтому

\frac{AK}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac48=\frac12.

В параллелограмме $CD=AB$ следовательно $AK=\frac{AB}{2}$ точка $K$ — середина $AB$

AEK

CED

подобны с коэффициентом

1:2

3. Средняя линия

Аналогично треугольники $CFL$ и $AFD$ подобны: углы при $F$ вертикальные, $CL\parallel AD$ Поэтому

\frac{CL}{AD}=\frac{CF}{AF}=\frac48=\frac12.

Так как $AD=BC$ имеем $CL=\frac{BC}{2}$ то есть $L$ — середина $BC$ В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ Поэтому он равен половине третьей стороны:

KL=\frac{AC}{2}=6.

KL

— средняя линия треугольника

ABC

Все состояния используют одну геометрическую модель. Рисунок помогает следить за доказательством; равенства обосновываются в тексте.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните треугольники $AEK$ и $CED$ какие стороны у них параллельны?

Подсказка 2

После нахождения отношений $AK:AB$ и $CL:CB$ рассмотрите треугольник $ABC$

Разобрать решение по шагам

Находим положение K

По рисунку $AE=EF=FC=4$ Треугольники $AEK$ и $CED$ подобны: углы при $E$ вертикальные, а $AK\parallel CD$ Поэтому

\frac{AK}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac48=\frac12.

В параллелограмме $CD=AB$ следовательно $AK=\frac{AB}{2}$ точка $K$ — середина $AB$

AEK

CED

подобны с коэффициентом

1:2

Находим положение L

Аналогично треугольники $CFL$ и $AFD$ подобны: углы при $F$ вертикальные, $CL\parallel AD$ Поэтому

\frac{CL}{AD}=\frac{CF}{AF}=\frac48=\frac12.

Так как $AD=BC$ имеем $CL=\frac{BC}{2}$ то есть $L$ — середина $BC$

Используем среднюю линию

В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ Поэтому он равен половине третьей стороны:

KL=\frac{AC}{2}=6.

KL

— средняя линия треугольника

ABC

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$KL=6$

Главная идея

Деление диагонали в отношении $1:2$ через подобие даёт середины сторон.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если прямые пересекаются на диагонали параллелограмма, ищите подобные треугольники с параллельными основаниями.

Возможная ошибка

Деление диагонали на три части не означает деление стороны на три части: в подобии участвует отношение $4:8$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 45 · задача 5 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 45 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Подобие треугольников
Свойства параллелограмма
Средняя линия треугольника

Приёмы решения: Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →