Бельчонок 2024/25 · Математика · 8 кл., №2 — решение · финал

Условие

Известно, что $xy=9$ и $11x-7y+3xy^2+x^2y=160$ Найдите $x^3+y^3$

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выделите произведение $xy$ в последних двух слагаемых.

Подсказка 2

Для суммы кубов достаточно знать сумму и произведение чисел; сами числа находить не нужно.

Разобрать решение по шагам

Упрощаем условие

Поскольку $xy=9$ имеем $3xy^2=27y$ $x^2y=9x$ Поэтому

11x-7y+27y+9x=160,

то есть $20(x+y)=160$ и $x+y=8$

Выражаем сумму кубов

Раскрытие куба суммы даёт

(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).

Значит

x^3+y^3=8^3-3\cdot9\cdot8=512-216=296.

Возможность исходных условий подтверждается, например, парой $x=4+\sqrt7$ $y=4-\sqrt7$ их сумма $8$ произведение $9$

Ответ

$296$

Главная идея

Сначала извлекаем сумму чисел, затем применяем тождество для суммы кубов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда задано произведение, слагаемые $xy^2$ и $x^2y$ становятся линейными.

Возможная ошибка

В формуле куба суммы смешанные слагаемые не исчезают: вместе они равны $3xy(x+y)$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 43 · задача 2 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 43 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Преобразования выражений →

Тема, знания и приёмы

Преобразования выражений · Нужна школьная база

Формула куба суммы
Вынесение общего множителя

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →