Бельчонок 2024/25 · Математика · 8 кл., №3 — решение · финал

Условие

Белке надо было перенести двух бельчат в соседний лес, находящийся на расстоянии $2{,}8$ км. Белка понесла одного бельчонка, а второй пошёл следом. Когда соседний лес показался, белка ссадила первого бельчонка, который пошёл дальше пешком, а сама вернулась за вторым, и когда встретила, понесла его. Все трое попали в соседний лес в одно и то же время. Белка скачет со скоростью $4$ км/час (с бельчонком или без). Бельчата идут со скоростью $1$ км/час. Сколько времени им понадобилось, чтобы одновременно попасть в соседний лес?

О задаче · 8 класс · баллы не подтверждены

Олимпиада: Бельчонок
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2024/25 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллыНе подтверждены

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Оба бельчонка проходят одинаковый путь за одинаковое время. Значит ли это, что белка несла их поровну времени?

Подсказка 2

Обозначьте время одной переноски через $t$ время возвращения белки через $r$ Запишите путь белки и одного бельчонка.

Разобрать решение по шагам

Времена переноски равны

Пусть весь путь занял $T$ часов, а одного бельчонка белка несла $t_i$ часов. Его путь равен

4t_i+1\cdot(T-t_i)=T+3t_i.

У обоих путь $2{,}8$ км и время $T$ одинаковы, поэтому $t_1=t_2=t$

Находим время возвращения

Пусть белка возвращалась $r$ часов, тогда $T=2t+r$ Её перемещение вперёд равно $4t-4r+4t=8t-4r$ Путь любого бельчонка равен $T+3t=5t+r$ Приравнивая к общему расстоянию, получаем

8t-4r=5t+r,\qquad r=\frac35t.

Поэтому $2{,}8=5t+\frac35t=\frac{28}{5}t$ , откуда $t=\frac12$ ч, $r=\frac3{10}$ ч.

Время и проверка по этапам

Итак,

T=2\cdot\frac12+\frac3{10}=\frac{13}{10}\text{ ч}=78\text{ мин}.

Точки переключения лежат на пути до леса. Таблица показывает расстояния от начального леса, а не пройденный белкой полный путь.

Время	Белка	Первый бельчонок	Второй бельчонок
$0$ ч	$0$ км	$0$ км	$0$ км
$0{,}5$ ч	$2$ км	$2$ км	$0{,}5$ км
$0{,}8$ ч	$0{,}8$ км	$2{,}3$ км	$0{,}8$ км
$1{,}3$ ч	$2{,}8$ км	$2{,}8$ км	$2{,}8$ км

Ломаные показывают расстояние от начального леса. Точные значения в контрольных точках приведены в таблице.

Ответ

$78$ минут, или $1$ час $18$ минут.

Главная идея

Одинаковые пути и время бельчат вынуждают одинаковые длительности переноски; затем считаем перемещение белки со знаком.

Как заметить эту идею в другой задаче

При перевозке по очереди сравните баланс времени пассажиров, прежде чем вводить места пересадок.

Возможная ошибка

На обратном участке перемещение белки отрицательно, но длительность этого участка прибавляется к общему времени.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 44 · задача 3 ↗

Бельчонок · 2024/25 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Официальное решение · страницы 44 ↗

Авторский разбор прошёл самопроверку, сверку с официальным материалом и отдельную проверку рассуждений ИИ-редактором. Ручная редакторская приёмка ещё не выполнена.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Встреча на двух дорогах →

Шаг в будущее · № 2

Сложность 2/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь, скорость, время
Линейная система

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →