Задача 1.1. Два одинаковых десятиугольника

Сколько клеток будет в каждой части

Одинаковые части совпадают при наложении, значит, клеток в них поровну. Посчитаем площадь фигуры. Она состоит из трёх горизонтальных рядов. В каждом ряду $7$ целых клеток, а на концах ряда наклонные стороны оставляют ещё $2$ половинки клетки (на рисунке они оранжевые). Две половинки — это одна клетка, поэтому в ряду $7+1=8$ клеток, а во всей фигуре $3\cdot8=24$ клетки. Каждой части достанется

клеток.

Зачем это нужно: площадь сразу отбрасывает разрезы, после которых одна часть больше другой.

Откуда у частей берутся углы

Посмотрим на пример организаторов (в условии это рисунок справа, здесь — нижний) и посчитаем углы левого шестиугольника:

• $3$ угла — это углы самой фигуры: левый верхний, левый нижний и вершина выемки;
• $2$ угла — концы разреза на верхней и нижней сторонах;
• $1$ угол — излом разреза.

Всего $3+2+1=6$. У правого шестиугольника тоже $3$ угла фигуры, те же $2$ конца разреза и тот же излом.

Вот главное наблюдение: излом разреза — это угол сразу у обеих частей, и конец разреза посреди стороны — тоже. Значит, каждый новый излом добавляет по углу каждой части. Нам нужно не по $6$, а по $10$ углов, то есть на $4$ больше. Если концы разреза снова будут посреди сторон и углов фигуры у каждой части снова окажется по $3$, то понадобится на $4$ излома больше: $1+4=5$. Ломаная с таким числом изломов — это уже «зигзаг». Запомним эту прикидку: в шаге 5 мы её проверим.

Подсказка: переворот

Ещё одно наблюдение из примера: левая часть ложится на правую, только если её перевернуть. Почему для этой фигуры так полезен переворот? Посмотри на ряды. Концы верхнего ряда скошены в одну сторону, концы нижнего — в другую. Если перевернуть верхний ряд вверх ногами, его концы скосятся так же, как у нижнего, и он станет точной копией нижнего ряда: те же $8$ клеток, та же форма.

Отсюда план. Верхний ряд отдадим одной части, нижний — другой. Средний ряд ($8$ клеток) поделим между ними поровну, по $4$ клетки: тогда у каждой части будет

клеток, как и нужно. А делить средний ряд будем так, чтобы при перевороте одна его половина превращалась в другую.

Зигзаг через средний ряд

Поделим средний ряд зигзагом по диагоналям клеток: у зигзага много изломов, а они нам и нужны. Обозначим вершины фигуры буквами, как на рисунке: $A$ и $B$ — концы верхней стороны, $C$ — острие справа, $D$ и $E$ — концы нижней стороны, $F$ — вершина выемки.

Где начать зигзаг? Посмотри на концы среднего ряда: левый конец — кусок стороны $EF$, правый — кусок стороны $CD$, и оба наклонены так же, как диагонали клеток. Если зигзаг пойдёт из верхнего левого угла ряда — точки $F$ — в нижний правый угол ряда — середину $CD$, то эти наклонные куски сами станут сторонами крайних зубцов, и все зубцы выйдут одинаковыми. Итак, из $F$ идём по диагонали вниз-вправо до нижней линии ряда, потом вверх-вправо до верхней, снова вниз-вправо — и так далее. После $7$ диагоналей зигзаг упрётся в сторону $CD$, ровно в её середину.

Зигзаг режет средний ряд на треугольники-зубцы. Каждый зубец состоит из двух половинок клетки, то есть это ровно $1$ клетка. Зубцов остриём вниз $4$ — они достаются верхней, синей части; зубцов остриём вверх тоже $4$ — они у нижней, жёлтой. Крайний левый жёлтый зубец ограничен стороной $EF$, крайний правый синий — стороной $CD$. Поэтому у каждой части

клеток. А при перевороте зубцы остриём вниз становятся зубцами остриём вверх — как и требует план из шага 3.

Считаем углы

Обойдём синюю часть: углы фигуры $A$, $B$, $C$, затем конец разреза на стороне $CD$ и $6$ изломов зигзага. Всего

А в точке $F$ у синей части угла нет: сторона $AF$ и первое звено зигзага идут по одной прямой вниз-вправо, так что от $A$ до первого излома тянется одна сторона.

Изломов $6$, а не $5$, как прикидывали в шаге 2. Дело в концах разреза: в примере оба конца лежали посреди сторон и давали угол обеим частям, а здесь один конец — в вершине $F$, и угол там получает только жёлтая часть. Синей не хватает одного угла — его и даёт шестой излом: $3+1+6=10$ вместо $3+2+5=10$.

Жёлтая часть: углы фигуры $D$ и $E$, оба конца разреза (точка $F$ и середина $CD$) и те же $6$ изломов:

Обе части — десятиугольники.

Части совпадают

Перевернём жёлтую часть вверх ногами — вокруг горизонтальной прямой посередине фигуры, как страницу книги, — и сдвинем её на одну клетку вправо. Её нижний ряд станет верхним рядом синей части — это мы видели в шаге 3, а её зубцы остриём вверх лягут на синие зубцы. Проверим по вершинам: $E$ попадает в $A$, $D$ — в $B$, конец разреза на $CD$ — в $C$, $F$ — в первый излом зигзага, и дальше изломы ложатся на изломы. Все $10$ углов совпали — значит, совпали и сами части. Переворачивать части условие разрешает, так что задача решена.