Задача 2.4. Винни-Пух и Кролик идут навстречу

Пух: пополам делится время

Начнём с того, что сказано прямо. Пух и Кролик вышли одновременно и шли до встречи, поэтому в пути они были одно и то же время. Обычные скорости у них равны — значит, равны и медленные: «вдвое медленнее» у обоих означает половину обычной скорости.

Теперь Пух. Разделим время до встречи на две равные половины. В первой половине Пух шёл вдвое медленнее, чем во второй, поэтому за то же время прошёл вдвое меньше. Если в первой половине он прошёл $1$ часть пути, то во второй — $2$ такие части, а всего $1+2=3$ части. Медленный участок — только треть пути Пуха.

Как до этого догадаться: в условии нет ни скорости, ни времени, ни длины дороги. Зато есть слова «половина» и «вдвое» — с ними удобно считать не в метрах, а в равных частях.

Кролик: пополам делится путь

У Кролика пополам делится не время, а путь до места встречи. Обе половины пути одной длины, но первую Кролик шёл вдвое медленнее — и потратил на неё вдвое больше времени, чем на вторую. Если быструю половину он прошёл за $1$ часть времени, то медленную — за $2$ такие части, а всего был в пути $1+2=3$ части времени.

Значит, медленно Кролик шёл $2$ части времени из $3$, то есть больше половины всего времени. Вот главное отличие (рисунок ниже): Пух медлил ровно половину времени, а Кролик — две трети. Время в пути у них общее, скорости одинаковые, а медленно Кролик шёл дольше — значит, он прошёл меньше. Чтобы узнать, на сколько меньше, нужны общие мерки для обоих.

Общие часы: 6 равных промежутков

Время до встречи у героев общее. Для Пуха его удобно делить на $2$ равные части, а для Кролика — на $3$. Разделим его сразу на $6$ равных промежутков: $6$ делится и на $2$, и на $3$.

Отрезком назовём путь, который проходят медленным шагом за один промежуток. Обычным шагом, вдвое быстрее, за промежуток проходят $2$ отрезка. Мерки одинаковы для обоих, ведь скорости у них одинаковые.

• Пух. Половина времени — это $6:2=3$ промежутка. Медленно он прошёл $3$ отрезка, обычным шагом — $3\cdot2=6$ отрезков. Всего $3+6=9$ отрезков.
• Кролик. Одна часть времени из шага 2 — это $6:3=2$ промежутка. Медленно он шёл $2$ части, то есть $2\cdot2=4$ промежутка, и прошёл $4$ отрезка. Обычным шагом — $2$ промежутка, $2\cdot2=4$ отрезка. Обе половины его пути и правда равны: по $4$ отрезка. Всего $4+4=8$ отрезков.

Итак, Пух прошёл $9$ отрезков, а Кролик — $8$. Больше прошёл Винни-Пух, ровно на $1$ отрезок.

80 метров — это один отрезок

Пух и Кролик шли навстречу друг другу по одной прямой дороге, каждый от своего домика, и встретились. Значит, вместе они прошли всю дорогу между домиками: $9+8=17$ отрезков.

Пух прошёл на $1$ отрезок больше, а по условию разница равна $80$ м. Значит, один отрезок — это $80$ м, а вся дорога

Пух прошёл $9\cdot80=720$ м, Кролик — $8\cdot80=640$ м, и разница $720-640=80$ м, как в условии.

Заметь: длину отрезка мы узнали только из разницы в $80$ м. Скорость и время в пути так и остались неизвестными — для ответа они не нужны. Другого ответа нет: при любой скорости разница — ровно один отрезок, то есть $\frac1{17}$ дороги.