Зимний турнир Архимеда 2026

Дан многоугольник (см. рис. слева), вырезанный из картона, и показано, как его разрезать на два одинаковых шестиугольника (см. рис. справа).

Разрежьте данный многоугольник на два одинаковых десятиугольника.

(Одинаковые фигуры совпадают при наложении, при этом их можно поворачивать и переворачивать).

Новогодняя гирлянда состоит из шаров двух цветов — красных и синих (оба цвета присутствуют). Известно:

1) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно три шара, то эти два шара одного цвета;

2) если между двумя какими-нибудь шарами расположены ровно шесть шаров, то эти два шара одного цвета.

Какое наибольшее количество шаров может быть в такой гирлянде?

Приведите пример самой длинной гирлянды, удовлетворяющей условию задачи (цвета обозначьте буквами: К — красный, С — синий).

Репортаж из будущего. Скоростной поезд Москва-Краснодар отходит, когда на дисплее вагонных часов ровно $10{:}25$. На маршруте три остановки (считая конечную). Алиса знает, что до момента первой остановки (и вообще между моментами остановок) проходит не менее двух с половиной часов, но не более семи. При этом в момент каждой остановки поезда она увидит на дисплее те же цифры, что и в Москве, но только одну из них на том же месте, что и на предыдущей станции. Укажите время прибытия поезда в Краснодар и на каждую из промежуточных остановок (перечислите все возможные варианты).

В турнире по теннису (каждый играет со всеми участниками по одной партии) участвовали $10$ игроков. В каждом матче судьей был один из других участников. а) Могло ли оказаться, что все участники судили одинаковое число матчей? б) Изменится ли ответ в задаче, если в турнире примет участие $9$ игроков? Все ответы требуется обосновать (если ответ «да» — приведите пример подходящего расписания, если ответ «нет» — объясните почему).

Кабинки на колесе обозрения расположены через одинаковые промежутки и пронумерованы по порядку (начиная с №1). Колесо вращается равномерно и каждую минуту в верхней точке оказывается новая кабинка. Первый раз Вася увидел там кабинку №6, а через $25$ минут — №8. Сколько всего кабинок могло быть на колесе обозрения? Укажите все варианты. Ответ обоснуйте.

Трудный случай. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Началась эпидемия, которая меняет поведение заболевшего: больной рыцарь всегда лжёт, а больной лжец говорит правду.

Больные лжецы выздоравливают сами. Больного рыцаря может спасти только новое лекарство, которое смертельно опасно для всех остальных жителей острова.

Два жителя острова, Альфа и Бета, обладают правдивой информацией друг о друге, но говорят ли они правду — зависит от диагноза.

Альфа говорит: «Мы оба рыцари и оба больны».

Бета говорит: «По крайней мере, один из нас — здоровый лжец».

Кому из двух жителей острова следует дать лекарство? Кому точно его давать нельзя?

Винни-Пух и Кролик вышли одновременно из своих домиков и направились навстречу друг другу по прямой дороге. Обычно они ходят с одинаковыми скоростями, но в этот раз Винни-Пух половину времени до встречи сочинял свои «шумелки-сопелки» и шел вдвое медленнее. Да и Кролик половину пути до места встречи думал «о положении земной оси» и тоже шел вдвое медленнее. После чего каждый из них, покончив с любимым делом, шел как обычно. Когда они встретились, оказалось, что один из них прошел на $80$ метров больше, чем другой. Кто из них прошел большее расстояние, и как далеко их дома находятся друг от друга?

Компьютерная игра. Дано выражение вида:

В начале игры вместо каждого знака $\otimes$ на экране появляется случайным образом «плюс» или «минус».

За один ход можно одновременно поменять два знака, стоящие рядом с каким-нибудь числом, на противоположные. Требуется, сделав не более $12$ ходов, получить пример с ответом, кратным $11$. Всегда ли можно этого добиться? Если ответ «да», то опишите способ, если ответ «нет» — объясните почему.