Задача 2.2. Колесо обозрения

Какая кабинка приезжает наверх следующей

Обозначим число кабинок буквой $N$. Кабинки пронумерованы по кругу подряд: за №1 идёт №2, за ней №3, …, а за последней кабинкой с номером $N$ снова идёт №1. Кабинка №8 на колесе есть, поэтому $N\ge 8$.

Каждую минуту колесо поворачивается на одну кабинку, и наверх приезжает соседняя. Но с какой стороны? Колесо может крутиться и по часовой стрелке, и против неё, а в условии об этом ничего не сказано (рисунок ниже). Поэтому возможны два случая:

• номера растут: после №6 наверху №7, потом №8, №9, …;
• номера убывают: после №6 наверху №5, потом №4, №3, …

Разберём оба. Ответ — все числа $N$, которые подходят хотя бы в одном из случаев. Как до этого догадаться: раз условие не задаёт направление, надо проверить оба.

Через полный оборот наверху снова та же кабинка

Возьмём для примера колесо из $10$ кабинок, номера растут. Выпишем, какая кабинка наверху каждую минуту, по $10$ минут в строке (рисунок ниже):

• минуты $0$–$9$: кабинки $6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5$
• минуты $10$–$19$: снова $6, 7, 8, \ldots$

За $10$ минут наверху побывали все десять кабинок, каждая по одному разу: колесо сделало полный оборот. Дальше всё повторяется. Каждая строка — один оборот, и №6 стоит в начале каждой строки: она наверху на минутах $0$, $10$, $20$, $30$, … и ни на каких других.

Так же устроено любое колесо. За минуту оно поворачивается на одну кабинку, поэтому полный оборот длится $N$ минут. Кабинка №6 снова оказывается наверху, только когда колесо повернулось на целое число оборотов. Значит, №6 наверху ровно на минутах

то есть на числах, кратных $N$. Зачем это нужно: про №6 мы знаем точное время — минуту $0$, а теперь знаем и все остальные минуты, когда она наверху.

Номера растут: подходит только 23

Пусть номера наверху растут: …, №6, №7, №8, … На 25-й минуте наверху №8. Значит, минутой раньше, на 24-й, там была №7, а ещё минутой раньше, на 23-й, — №6. Кабинки $6$, $7$, $8$ идут подряд, ведь $N\ge 8$.

В шаге 2 мы выяснили, что №6 бывает наверху только на минутах, кратных $N$. Поэтому $23$ делится на $N$. Но $23$ — простое число: оно делится только на $1$ и на $23$. Колесо из одной кабинки не годится, ведь $N\ge 8$. Значит, $N=23$.

Проверка: на колесе из $23$ кабинок №6 снова наверху через один оборот, на 23-й минуте. Ещё через $2$ минуты наверху №8 — как раз на 25-й минуте (рисунок ниже).

Номера убывают: подходят 9 и 27

Пусть теперь номера наверху убывают: …, №8, №7, №6, … Здесь №6 приезжает наверх через $2$ минуты после №8. На 25-й минуте наверху №8, поэтому на 26-й будет №7, а на 27-й — №6. Вася на колесо уже не смотрит, но оно продолжает равномерно крутиться.

Рассуждаем, как в шаге 3: №6 бывает наверху только на минутах, кратных $N$ (шаг 2), поэтому $27$ делится на $N$. Так как $27=3\cdot3\cdot3$, его делители — это $1$, $3$, $9$ и $27$. Числа $1$ и $3$ меньше $8$: на таком колесе нет кабинки №8. Остаются $N=9$ и $N=27$.

Проверка для $N=9$: №6 наверху на минутах $0$, $9$, $18$, $27$, а №8 — за $2$ минуты до каждой из них, на минутах $7$, $16$, $25$. Для $N=27$: №6 снова наверху на 27-й минуте, а №8 — на 25-й. Оба колеса подходят (рисунок ниже).