Задача 1.3. Часы в поезде

Какое время может показать табло

На дисплее вагонных часов — дальше будем называть его табло — четыре цифры: две показывают часы, две — минуты. В момент остановки там стоят те же цифры $1$, $0$, $2$ и $5$, что и в Москве, — каждая ровно один раз, только, может быть, в другом порядке. Но не всякий порядок даёт время: часы бывают от $00$ до $23$, а минуты — от $00$ до $59$.

Удобно начать с часов. Из двух разных цифр нашего набора получаются часы $01$, $02$, $05$, $10$, $12$, $15$, $20$ и $21$. Сочетания $25$, $50$, $51$ и $52$ не годятся: таких часов нет. Две оставшиеся цифры уходят в минуты в любом порядке, и это всегда подходит: больше $52$ минут не получится, а это меньше $60$. Значит, у каждого варианта часов ровно два показания, а всего их $8\cdot2=16$:

Зачем это нужно: условие говорит не о самом времени, а о цифрах на табло. Поэтому сначала выпишем все табло, которые вообще могут появиться, — дальше останется выбирать из этого короткого списка.

Первая остановка: сначала время, потом цифры

Что значит «только одну из них на том же месте»? Сравниваем два табло по местам: первую цифру с первой, вторую со второй, третью с третьей, четвёртую с четвёртой. Например, у $10{:}25$ и $15{:}02$ на первом месте стоит одна и та же цифра $1$, а на остальных местах цифры разные: $0$ и $5$, $2$ и $0$, $5$ и $2$. На своём месте осталась ровно одна цифра — так и требует условие.

С какого условия начать? Сравнивать по местам все $16$ показаний долго, а условие о времени сразу отсекает почти все. Первая остановка бывает не раньше чем через $2$ ч $30$ мин после отправления и не позже чем через $7$ ч:

• не раньше $12{:}55$, потому что $10{:}25$ плюс $2$ ч $30$ мин — это $12{:}55$;
• не позже $17{:}25$, потому что $10{:}25$ плюс $7$ ч — это $17{:}25$.

Из таблицы в это окно попадают только $15{:}02$ и $15{:}20$. Остальные $14$ показаний не подходят по времени:

• $10{:}52$, $12{:}05$ и $12{:}50$ — слишком рано: даже до $12{:}50$ от отправления проходит всего $2$ ч $25$ мин;
• $20{:}15$, $20{:}51$, $21{:}05$ и $21{:}50$ — уже позже $17{:}25$;
• ночные показания от $01{:}25$ до $05{:}21$ часы покажут только следующей ночью, а $10{:}25$ — только через сутки: это гораздо больше $7$ ч.

Теперь сравним два оставшихся показания с табло $10{:}25$:

• $15{:}02$ — совпадает только $1$ на первом месте: подходит;
• $15{:}20$ — совпадают $1$ на первом месте и $2$ на третьем: две цифры, а нужна ровно одна.

Значит, первая остановка — в $15{:}02$.

Вторая остановка: тот же способ

Теперь всё отсчитываем от $15{:}02$. Окно для второй остановки — от $17{:}32$ (это $15{:}02$ плюс $2$ ч $30$ мин) до $22{:}02$ (это $15{:}02$ плюс $7$ ч). В него попадают четыре показания: $20{:}15$, $20{:}51$, $21{:}05$ и $21{:}50$. Остальные показания таблицы часы покажут либо слишком рано — $15{:}20$ всего через $18$ мин, — либо позже $22{:}02$: ночью или уже на следующий день.

Сравниваем каждое с табло $15{:}02$. Удобно начать с часов: у всех четырёх кандидатов впереди $2$, а потом $0$ или $1$, у $15{:}02$ же впереди $1$ и $5$. В часах совпадений нет ни у кого — значит, всё решают минуты. У $15{:}02$ на третьем и четвёртом местах стоят $0$ и $2$:

• $20{:}15$ — там $1$ и $5$: совпадений нет;
• $20{:}51$ — там $5$ и $1$: совпадений нет;
• $21{:}05$ — там $0$ и $5$: совпал $0$ на третьем месте, ровно одна цифра;
• $21{:}50$ — там $5$ и $0$: совпадений нет.

Значит, вторая остановка — в $21{:}05$.

Краснодар: окно переходит через полночь

Отсчитываем от $21{:}05$. Через $2$ ч $30$ мин будет $23{:}35$. А через $7$ ч получится $21+7=28$ часов $05$ минут — такого показания на часах нет. После $23{:}59$ часы показывают $00{:}00$ и начинают новые сутки, поэтому из $28$ часов вычитаем $24$: $28-24=4$. Значит, окно для Краснодара — от $23{:}35$ до $04{:}05$ ночи, уже следующих суток.

До окна часы покажут только $21{:}50$ — всего через $45$ мин после $21{:}05$, слишком рано. С $23{:}35$ до полуночи в таблице показаний нет: часы $23$ из цифр $1$, $0$, $2$, $5$ не сложить. После полуночи и до $04{:}05$ попадают четыре показания: $01{:}25$, $01{:}52$, $02{:}15$ и $02{:}51$ (а $05{:}12$ и всё, что дальше, — уже позже $04{:}05$). Сравним их с табло $21{:}05$:

• $01{:}25$ — совпадают $1$ на втором месте и $5$ на четвёртом: две цифры, не подходит;
• $01{:}52$ — совпадает только $1$ на втором месте: подходит;
• $02{:}15$ — совпадает только $5$ на четвёртом месте: подходит;
• $02{:}51$ — совпадений нет: не подходит.

Значит, в Краснодар поезд прибывает ночью — в $01{:}52$ или в $02{:}15$.

Зачем следить за полуночью: если искать конечную остановку только до $23{:}59$, подходящих показаний не найдётся вовсе, и покажется, что у задачи нет ответа.

Почему других вариантов нет

Для каждой остановки мы проверили все $16$ показаний: одни не попали в окно по времени, у других на своём месте оказалась не ровно одна цифра. Для первой остановки подошло только $15{:}02$, для второй — только $21{:}05$, и лишь для Краснодара осталось два показания. Выбор на первых двух шагах был вынужденным, развилка появилась только в самом конце — поэтому других маршрутов нет.

Итак, возможны ровно два маршрута: