Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №6

Условие

В ходе исследований планет солнечной системы космический аппарат (КА) выполняет гравитационный маневр вблизи Сатурна. Вокруг планеты установлена зона безопасности полета для КА, учитывающая кольца и верхние слои атмосферы. Для упрощения моделирования, будем считать, что маневр происходит в одной плоскости. Введем декартову систему координат на плоскости $xOy$ Центр масс планеты совпадает с началом координат $O(0;0)$ Граница зоны безопасности — окружность радиуса $R=140$ тыс. км с центром в точке O. Траектория аппарата в плоскости маневра симметрична относительно оси Oy и обладает следующим свойством: для любой точки траектории $P(x;y)$ расстояние до центра планеты O равно расстоянию до прямой L , заданной уравнением $y=2R$ . Аппарат движется так, что точка его максимального сближения с центром планеты лежит на оси Oy и находится точно на границе зоны безопасности. В некоторый момент времени телеметрия фиксирует положение аппарата в точке S, расстояние от которой до центра планеты составляет $r=175$ тыс. км. Специальная антенна аппарата ориентирована строго по вектору мгновенной скорости (направлена по касательной к траектории в точке S ). Для ретрансляции данных используется спутник-ретранслятор T, расположенный на оси симметрии траектории в точке пересечения с линией сигнала антенны. Определите расстояние от аппарата до спутника-ретранслятора T в момент фиксации телеметрии. Ответ запишите в тысячах километров

Окружность безопасности, траектория и прямая L. Вычисленные координаты S, спутник T и касательная пока не нанесены.

О задаче · 11 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Построение линии сигнала

Это геометрические этапы, а не анимация полёта: закон изменения положения во времени в условии не задан.

1. Вершина на границе зоны

$y=140-\frac{x^2}{560}$ Вершина $V=(0,140)$ находится на окружности безопасности.

2. Два положения аппарата

$S=(140,105)$ и $S^{\prime}=(-140,105)$ симметричны. В обоих случаях $OS=175$

3. Касательная и её проекции

$T=(0,175)$ $SU=140$ $TU=70$ По двум катетам находим $ST$

Фиксированные расчётные состояния; все доступны статично. Временной закон движения не предполагается.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Запишите равенство расстояний до начала координат и до прямой $y=2R$ Оно определяет уравнение траектории.

Подсказка 2

Из расстояния $OS=r$ найдите координаты $S$ Затем составьте уравнение касательной и подставьте $x=0$ чтобы найти ретранслятор.

Разобрать решение по шагам

Находим уравнение траектории

Используем тысячи километров как единицу длины. Равенство расстояний записывается так:

\sqrt{x^2+y^2}=|y-2R|.

После возведения в квадрат

x^2+y^2=y^2-4Ry+4R^2,\qquad y=R-\frac{x^2}{4R}.

Здесь $y\le R<2R$ и обе части исходного равенства неотрицательны, поэтому посторонних точек не появилось. Расстояние до центра равно $2R-y=R+x^2/(4R)\ge R$ с равенством только в вершине $V=(0,R)$ условие безопасности согласовано.

V — вершина траектории. Здесь расстояние до O минимально и равно R.

Определяем положение аппарата

При $R=140$ и $r=175$ имеем

y_S=2R-r=105,\qquad x_S^2=4R(r-R)=4\cdot140\cdot35=19600.

Следовательно, $S=(140,105)$ или $S=(-140,105)$ Эти положения симметричны и дают одинаковое расстояние до оси.

Два симметричных положения S и S′ соответствуют одному расстоянию r = 175.

Пересекаем касательную с осью

Производная траектории равна $\frac{dy}{dx}=-x/(2R)$ Для $S=(140,105)$ наклон касательной $-1/2$ поэтому

y-105=-\frac12(x-140).

На оси $Oy$ где $x=0$ получаем $T=(0,175)$ Для симметричной точки получается тот же $T$

Касательная ST пересекает ось в T. U — проекция S на ось; прямоугольный треугольник STU определяет длину.

Вычисляем расстояние

Обозначим проекцию $S$ на ось $Oy$ через $U=(0,105)$ В прямоугольном треугольнике $STU$ горизонтальный катет $SU=140$ вертикальный — $TU=175-105=70$ Поэтому

ST=\sqrt{140^2+70^2}=70\sqrt5.

Единица координат — тысяча километров, поэтому число для ответа равно $70\sqrt5$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$70\sqrt5$ тысяч километров.

Главная идея

Геометрическое определение параболы даёт её уравнение, а направление антенны определяется производной.

Как заметить эту идею в другой задаче

Расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой: это фокус и директриса параболы.

Возможная ошибка

Расстояние до прямой записывается с модулем. После возведения в квадрат нужно убедиться, что полученная кривая удовлетворяет исходному равенству.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Уровень уточняется

Декартовы координаты и расстояние между точками
Уравнение параболы
Производная и уравнение касательной

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →