Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №3

Условие

Отрезки $AD$ и $AE$ являются соответственно медианой и высотой треугольника $ABC$ точка $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности, $F$ — точка пересечения прямых $AE$ и $OD$ Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к стороне $BC$ если $FE=3AF$

E лежит на продолжении BC: пунктир соединяет E с B. Показаны только объекты условия; J и радиус появятся в решении.

О задаче · 11 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проведите радиус к точке касания вписанной окружности со стороной BC. Сравните два прямоугольных треугольника с вершиной D.

Подсказка 2

Обозначьте BC = a, CA = b, AB = c. Отрезки от B и C до точки касания выражаются через полупериметр, а DE — через разность b² − c².

Разобрать решение по шагам

Введём точку касания и объясним выбор

Пусть $BC=a$ $CA=b$ $AB=c$ $AE=h$ радиус вписанной окружности — $r$ полупериметр — $s=\frac{a+b+c}{2}$ Обозначим точку касания окружности со стороной $BC$ через $J$ Тогда $OJ\perp BC$ и $OJ=r$ Зачем нужна $J$ Прямые $OJ$ и $EF$ параллельны, а $D,O,F$ лежат на одной прямой. Значит, прямоугольные треугольники $DJO$ и $DEF$ подобны. Чтобы воспользоваться подобием, найдём $DJ$ и $DE$

Введена точка касания J; радиус OJ перпендикулярен BC. Обозначения сторон стоят у своих отрезков.

Найдём расстояние от середины до точки касания

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны. Поэтому на стороне $BC$

BJ=s-b,\qquad CJ=s-c.

Можно считать $b>c$ при другом неравенстве просто поменяем названия $B,C$ Тогда $J$ лежит со стороны $B$ от середины $D$ и

DJ=BD-BJ=\frac a2-(s-b)=\frac{b-c}{2}.

Если $b=c$ высота, медиана и прямая $OD$ совпадают: единственная точка пересечения $F$ не определена. Такой случай не задаёт конфигурацию условия.

Выделены касательные BJ и CJ. Равные части BD, DC отмечены в стороне от J.

Найдём DE по теореме Пифагора

При $b>c$ вершина $A$ ближе к $B$ чем к $C$ поэтому основание высоты $E$ лежит со стороны $B$ от $D$ Оно может находиться как на стороне, так и на её продолжении — квадрат расстояния учитывает оба положения. Положим $DE=d$ Горизонтальные расстояния от $E$ до $B,C$ имеют квадраты $(d-\frac a2)^2$ и $(d+\frac a2)^2$ Из двух прямоугольных треугольников:

\begin{aligned}b^2-c^2&=\left(d+\frac a2\right)^2-\left(d-\frac a2\right)^2\\[0.45em]&=2ad. \end{aligned}

Отсюда

DE=\frac{b^2-c^2}{2a},\qquad\frac{DE}{DJ}=\frac{(b-c)(b+c)}{2a}\cdot\frac{2}{b-c}=\frac{b+c}{a}.

Здесь деление на $b-c$ допустимо: равнобедренный случай уже выделен.

Высота AE образует прямоугольные треугольники AEB и AEC, а E лежит на продолжении BC.

Подобие определит и длины, и порядок точек

Точки $E,J$ лежат с одной стороны от $D$ а $O$ — с той же стороны от $BC$ что и $A$ Поэтому пересечение $F$ лежит на луче $EA$ Из подобия

\frac{EF}{OJ}=\frac{DE}{DJ}=\frac{b+c}{a},\qquad EF=\frac{r(b+c)}a.

Площадь треугольника можно найти по основанию и высоте либо как сумму трёх треугольников с высотой $r$

\frac{ah}{2}=rs=\frac{r(a+b+c)}2,\qquad r=\frac{ah}{a+b+c}.

Подставляем:

EF=\frac{h(b+c)}{a+b+c}<h.

Итак, $F$ действительно между $E$ и $A$ а

AF=h-EF=\frac{ha}{a+b+c}=r.

Большой треугольник DEF выделен охрой, малый DJO — синим; общая прямая DOF задаёт соответствующие углы.

Применим условие FE = 3 AF

Теперь отношение заданных отрезков равно отношению сторон:

3=\frac{FE}{AF}=\frac{b+c}{a}.

Поэтому отношение периметра к основанию

\frac{a+b+c}{a}=1+3=4.

Дополнительно: координатная проверка

Это самостоятельная проверка того же результата координатами. Точку пересечения биссектрисы из $A$ со стороной $BC$ здесь обозначим $L$ Она отличается от точки касания $J$ в основном разборе. Буква $p$ ниже обозначает полный периметр $a+b+c$ остальные вершины и отрезки сохраняют свой смысл.

Задаём координаты и находим высоту центра

Пусть $BC=a$ $CA=b$ $AB=c$ $p=a+b+c$ $AE=h$ Возьмём $E=(0,0)$ и направим ось $y$ по высоте $EA$ Тогда

A=(0,h),\qquad B=(u,0),\qquad C=(v,0),\qquad v-u=a.

Середина $BC$ имеет координаты $D=(d,0)$ где $d=\frac{u+v}{2}$ Две формулы площади дают радиус вписанной окружности:

\frac{ah}{2}=\frac{pr}{2},\qquad r=\frac{ah}{p}.

Поэтому ордината её центра равна $y_O=r=\frac{ah}{p}$

Вычисляем горизонтальную координату центра

Биссектриса $AL$ делит основание в отношении $BL:LC=c:b$ Координата точки деления равна

x_L=\frac{bu+cv}{b+c}.

Точка $O$ находится на $AL$ на высоте $r$ над основанием. Значит, от $A$ до $O$ пройдена доля $1-\frac rh=\frac{b+c}{p}$ отрезка $AL$

x_O=x_L\frac{b+c}{p}=\frac{bu+cv}{p}.

По теореме Пифагора $b^2=v^2+h^2$ $c^2=u^2+h^2$ Вычитая, получаем

b^2-c^2=(v-u)(v+u)=2ad,\qquad b-c=\frac{2ad}{b+c}.

Теперь используем $u=d-\frac a2$ и $v=d+\frac a2$

\begin{aligned}bu+cv&=d(b+c)-\frac a2(b-c)\\[0.45em]&=d\left((b+c)-\frac{a^2}{b+c}\right)\\[0.45em]&=d\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{b+c}\\[0.45em]&=d\frac{(b+c-a)p}{b+c}.\end{aligned}

После деления на $p$ остаётся $x_O=d\frac{b+c-a}{b+c}$

Биссектриса

AL

помогает найти горизонтальную координату

O

На следующем рисунке к построению добавлены медиана

AD

и прямая

OD

Пересекаем OD с высотой

Если $d=0$ то $u=-v$ треугольник равнобедренный и прямые $OD$ и $AE$ совпадают. Они не определяют единственную точку пересечения, поэтому в конфигурации задачи $d\ne0$ У прямой $DO$ при переходе от $x=d$ к $x=0$ ордината меняется пропорционально горизонтальному смещению. Следовательно,

y_F=\frac{ah}{p}\cdot\frac{d}{d-x_O}=\frac{ah}{p}\cdot\frac{b+c}{a}=\frac{h(b+c)}p.

Так как $0<b+c<p$ точка $F$ лежит между $E$ и $A$ Значит,

FE=\frac{h(b+c)}p,\qquad AF=h-FE=\frac{ha}{p}.

Находим отношение периметра к основанию

Условие $FE=3AF$ даёт $\frac{b+c}{a}=3$ Поэтому

\frac{p}{BC}=\frac{a+b+c}{a}=1+3=4.

Ответ

$4$

Главная идея

Точка касания переводит положение инцентра в разности сторон. Подобие двух прямоугольных треугольников связывает EF с радиусом; формула площади переводит радиус в периметр.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если одновременно встречаются инцентр, медиана и высота к одной стороне, опустите радиус на эту сторону. Отрезок от середины стороны до точки касания равен половине разности двух других сторон.

Возможная ошибка

Нельзя заранее считать F серединой или помещать её произвольно за A. Положение F между E и A нужно вывести; равнобедренный случай даёт совпадающие прямые, а не единственную точку F.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Продвинутая подготовка

Вписанные углы
перпендикулярность радиуса касательной

Приёмы решения: Подобие треугольников · Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →