Остаток от факториала после удаления множителей

Сначала выполним точное деление на степень одиннадцати

В произведении $90!=1\cdot2\cdots90$ кратны $11$ только числа $11,22,\ldots,88$. Их восемь, причём ни одно не кратно $11^2=121$. Поэтому

После этого сокращения остаётся целое число. Теперь можно искать его остаток.

Сгруппируем остальные множители по остаткам

В группах $1,\ldots,10$; $12,\ldots,21$; и так далее вплоть до $78,\ldots,87$ повторяются остатки $1,2,\ldots,10$ при делении на $11$. Таких групп восемь. Последние числа $89$ и $90$ дают остатки $1$ и $2$. Следовательно,

Знак $\equiv$ здесь означает, что числа дают одинаковый остаток при делении на $11$.

Посчитаем одну группу без специальной теоремы

В произведении $10!$ сгруппируем множители:

Каждая скобка имеет остаток $1$, и это легко проверить:

Поэтому $10!$ имеет тот же остаток, что $10$, то есть можно заменить его числом $-1$ при вычислении остатка по $11$.

Соберём остаток всего числа

Для оставшегося множителя имеем

Значит, его остаток равен $5$. Степень у $-1$ чётная: $(-1)^8=1$. В результате

Число $10$ уже лежит между $0$ и $10$, поэтому это и есть искомый остаток.