Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 11 кл., №5

Условие

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$ наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$ . Найдите отношение высоты призмы к диагонали ромба $AC$ если отношение объемов частей, на которые плоскость сечения делит призму, равно $25:47$ причем среди вершин части призмы меньшего объема есть точка $C$

Исходная пространственная конфигурация. Найденные отношения и вспомогательные обозначения раскрываются в разборе.

О задаче · 11 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 11 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Модель к разбору

Ромбическая призма: две части объёма

Поверните фигуру, чтобы увидеть плоскость и её след. Поворот камеры не меняет размеры и не заменяет доказательство.

В 3D: перетаскивание вращает модель; две точки касания приближают. Кнопки работают с клавиатуры. Стрелки на модели вращают камеру. Для прокрутки страницы проведите за пределами модели.

Исследование семейства призм. Основной разбор выше относится к данным условия. Здесь меняется форма ромба, а найденные высота и наклон сечения сохраняются. Для сравнения выбрана одна мера длины: AC = h = 4 условные единицы. Это масштаб модели, не дополнительные длины из условия.

Форма основания:

\dfrac{BD}{2AC}

0,3375

Ползунок задаёт отношение половины диагонали BD к диагонали AC. Вместе с BD меняются сторона ромба, площади и объёмы. Углы и отношение объёмов остаются прежними: проверьте это на разных ромбах.

Видимость граней в 3D

Переключатели ниже управляют слоями 3D; в статичном режиме даны полные опорные проекции.

Текущая форма: BD = 2,7 усл. ед.Сторона ромба AB = 2,413 усл. ед.Площадь основания: S_осн = 4 × 2,7 : 2 = 5,4 усл. ед.².Площадь проекции: S_пр = 4,725 усл. ед.².Площадь сечения: S_сеч = 7,875 усл. ед.².Объём призмы: 21,6 усл. ед.³. Часть с C: 7,5; вторая часть: 14,1 усл. ед.³.При изменении формы остаётся неизменнымОтношение объёмов =

\frac{25}{47}

≈ 0,531915; доли всей призмы:

\frac{25}{72}

\frac{47}{72}

.AC = 4; h = 4; AC₁ ≈ 5,657 усл. ед.α ≈ 53,13°; β = 45°.

A, B, C, D — основаниеC₁ — верхняя вершина над CF, G, B₂, D₂ — вершины сеченияP — след плоскости на ACO — центр ромбаh — CC₁α — угол плоскости; β — угол диагонали

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

При фиксированном ромбе обозначьте высоту призмы через $h$ а диагональ $AC$ через $d$ Как меняется доля нижней части при увеличении отношения $h/d$

Подсказка 2

Проверьте случай $h=d$ след секущей плоскости отсекает у $A$ четверть диагонали $AC$ Разбейте нижнюю часть на пирамиду с вершиной $C_1$ и два тетраэдра.

Разобрать решение по шагам

Выбираем нижнюю часть и объясняем единственность

Зафиксируем форму и размеры ромба основания. Пусть $h=CC_1$ $d=AC$ $S$ — площадь основания. Часть, содержащая $C$ расположена под секущей плоскостью. Обозначим через $x$ расстояние от $A$ вдоль диагонали $AC$ до проекции рассматриваемой точки основания на эту диагональ. Поскольку $AC\perp BD$ и $\tan\alpha=4/3$ высота секущей плоскости над этой точкой равна $h-\tfrac43(d-x)$ Доля вертикального столбика, принадлежащая нижней части, равна

\max\left(0,\ 1-\frac{4(d-x)}{3h}\right).

При увеличении $h/d$ эта доля нигде не уменьшается и строго увеличивается на области положительной площади у $C$ Следовательно, доля нижнего объёма строго возрастает: заданному отношению объёмов может соответствовать не более одного значения $h/d$

Проверяем геометрию при h=d

Попробуем $h=d$ при наклоне $\tan\alpha=4/3$ расстояние до следа получится простой долей диагонали, а высоты над вершинами — простыми долями $h$ Это пока проверяемый кандидат, а не вывод из условия. Если его объёмы дадут $25:47$ доказанная монотонность исключит другие варианты. Положим $h=d$ След секущей плоскости на основании пересекает $AC$ в точке $P$ для которой

PC=\frac{h}{\tan\alpha}=\frac34d,\qquad AP=\frac14d.

Пусть след пересекает $AB,AD$ в $F,G$ а секущая плоскость пересекает вертикальные рёбра $BB_1,DD_1$ в $B_2,D_2$ Если $O$ — центр ромба, то $AP/AO=1/2$ поэтому $AF=AB/2$ $AG=AD/2$ и $S_{AFG}=S/8$ Над $B,D$ высота плоскости равна $h-\tfrac43(d/2)=h/3$ то есть $BB_2=DD_2=h/3$

Проекция вычислена из той же геометрии, что и пространственная модель.

Складываем объёмы трёх многогранников

Нижнюю часть разбиваем на пирамиду с вершиной $C_1$ и основанием $FBCDG$ а также тетраэдры $C_1FBB_2$ и $C_1GDD_2$ Площадь пятиугольного основания равна $7S/8$ поэтому объём пирамиды

V_0=\frac13\cdot\frac{7S}{8}\cdot h=\frac{7Sh}{24}.

Обозначим сторону ромба через $l$ Площадь треугольника $FBB_2$ равна $\tfrac12\cdot(l/2)\cdot(h/3)=lh/12$ . Расстояние от $C_1$ до вертикальной плоскости $ABB_1$ равно высоте ромба $S/l$ Поэтому

V_1=\frac13\cdot\frac{lh}{12}\cdot\frac Sl=\frac{Sh}{36}.

Второй тетраэдр имеет такой же объём. Итого

V_{\text{нижн}}=\frac{7Sh}{24}+2\cdot\frac{Sh}{36}=\frac{25Sh}{72}.

F,G,B₂,D₂ и C₁ обозначены на пространственной схеме; плоская проекция поясняет высоты.

Проверяем условие и записываем ответ

Полный объём призмы равен $Sh$ поэтому второй объём равен $47Sh/72$ Отношение частей составляет $25:47$ причём меньшая часть содержит $C$ Таким образом, $h/d=1$ подходит. Строгая монотонность из первого шага исключает другие значения.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$\frac{CC_1}{AC}=1$

Главная идея

Доказать строгую монотонность доли объёма по искомому отношению и затем проверить один подходящий геометрический случай.

Как заметить эту идею в другой задаче

Угол секущей плоскости фиксирован, а меняется высота призмы: после нормировки на высоту удобно сравнивать доли вертикальных столбиков.

Возможная ошибка

Равенство объёмов для одного найденного отношения ещё не исключает другого решения. Нужна проверка единственности.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 11 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Сечения и проекции →

Тема, знания и приёмы

Сечения и проекции · Продвинутая подготовка

Подобие
проекция
угол прямой и плоскости

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →