Замерзание куба: инвариант и конструкция

Доказываем невозможность при трёх соседях

Считаем площади граней в единицах площади одной грани контейнера. Пусть $S$ — площадь всей границы замёрзшей области, включая границы полостей. Изначально $S\le6n=48$: соприкасающиеся замёрзшие контейнеры только уменьшают эту площадь. Если присоединить кубик, имеющий $k\ge3$ замёрзших соседей, исчезнут $k$ открытых граней и появятся $6-k$ новых. Изменение равно

Одновременно замерзающие кубики можно добавлять по одному: у каждого останутся как минимум три соседа из предыдущего этапа. Поэтому поверхность никогда не увеличивается. Но полностью замёрзший куб $4\times4\times4$ имеет поверхность $6\cdot4^2=96>48$. Полное замерзание невозможно.

Задаём шесть первоначальных контейнеров

Нумеруем контейнеры координатами $(x,y,z)$, где $x,y,z\in\{1,2,3,4\}$. Соседи по грани отличаются на $1$ ровно в одной координате. Заморозим сначала

То есть берём диагональ слоя $z=1$ и ещё два контейнера над точкой $(1,2)$.

Проверяем время замерзания по слоям

В четырёх таблицах на рисунке строки соответствуют $y=1,2,3,4$, столбцы — $x=1,2,3,4$. Число в клетке означает этап замерзания; $0$ отмечает первоначальные контейнеры. Таблицы задают проверку по индукции: у каждой клетки с числом $t>0$ есть не менее двух соседей по граням с числами строго меньше $t$. Поэтому к этапу $t$ эта клетка уже замёрзнет. Например, клетка $(1,2,3)$ с числом $1$ имеет соседей $(1,2,2)$ и $(1,2,4)$ с нулями. Соседей нужно искать и в своём слое, и в двух соседних слоях в той же позиции.

Сверяем количество этапов

Числа вновь замёрзших контейнеров на этапах от $0$ до $7$ равны соответственно

Их сумма $64$, а наибольшая отметка в таблицах — $7$. Значит, предложенная расстановка замораживает весь куб за $7$ этапов, что удовлетворяет требованию «не более чем за $8$».