Один росчерк через пять переходов

Находим вершины и рёбра

Уравнение $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ означает, что расстояние от $(x,y)$ до центра $(a,b)$ равно $R$. Поэтому центры двух больших окружностей — $(3,0)$ и $(-3,0)$, радиусы — $5$; малых — $(7,0)$ и $(6,0)$ с радиусами $1$ и $2$. Обозначим концы отрезка через $U=(0,5)$ и $V=(0,-5)$. Вычтем уравнения больших окружностей:

Их пересечения — $P=(0,4)$ и $Q=(0,-4)$. Малые окружности касаются друг друга и правой большой в $T=(8,0)$: расстояния между центрами равны разностям соответствующих радиусов. До левой большой окружности обе малые не достают. Вершина графа — отмеченная точка; ребро — отдельный участок линии между вершинами. Между $P$ и $Q$ идут четыре разных ребра: отрезок, две дуги левой большой окружности и левая дуга правой. Дуги $PT$ и $TQ$ — ещё два ребра. Каждая малая окружность — петля, начинающаяся и заканчивающаяся в $T$.

Определяем начало и конец маршрута

Степень вершины — число концов рёбер, выходящих из неё. Запись $\deg U$ означает «степень вершины $U$». У $U$ есть только один конец ребра $UP$, поэтому $\deg U=1$. Петля даёт два конца, поэтому считается дважды. Получаем

Граф связен: из каждой его вершины можно добраться до любой другой по рёбрам. Для связного графа путь, проходящий каждое ребро один раз, существует при нуле или двух нечётных вершинах. Необходимость понятна: в промежуточной вершине каждому приходу соответствует уход. У нас нечётные вершины только $U,V$, значит, они и будут концами пути. Этот признак пока не считает маршруты. Сначала зафиксируем начало $U$ и конец $V$: рёбра $UP$ и $QV$ тогда вынуждены; остальные варианты перечислим следующим шагом.

Считаем переходы между P и Q

Войти в $T$ и выйти из неё можно только по дугам $PT$ и $TQ$. Все петли нужно пройти при этом же посещении: после выхода вернуться в $T$ уже не по чему. Поэтому весь участок через $T$ считаем пятым переходом между $P$ и $Q$. Пять различных переходов можно расположить в любом порядке: $5!=120$ способов. После нечётного числа переходов маршрут заканчивается в $Q$, как и требуется. Внутри перехода через $T$ две петли можно пройти в $2!$ порядках, а каждую — в двух направлениях. Это даёт $2!\cdot2^2=8$ вариантов.

Учитываем оба начала

При начале в $U$ получается $120\cdot8=960$ маршрутов. Столько же маршрутов начинаются в $V$ и идут в обратном направлении. Всего